A equação de Laplace em R^3 é
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2+partial^2 upartial z^2=0
Verifique se a função u dada por u(x, y, z)=(x^2+y^2+z^2)^-1 / 2 satisfaz a equação de Laplace tridimensional para (x, y, z) neq(0,0,0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
u(x,y,z)=l(x^2+y^2+z^2r)^-1/2
satisfaça a equação de Laplace em R^3 para (x,y,z)neq(0,0,0), ou seja, mostrar que
De<a u=partial^2upartial x^2+partial^2upartial y^2+partial^2upartial z^2=0
Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem e somá-las.

Passo 2

Defina r^2=x^2+y^2+z^2. Primeiro obtemos a derivada parcial em x:
partial upartial x =partialpartial xl(r^2r)^-1/2 =-tfrac12,(r^2)^-3/2cdot 2x =-x,(r^2)^-3/2

Passo 3

Agora derivamos de novo em x:
partial^2upartial x^2 =partialpartial xl[-x,(r^2)^-3/2r] =-(r^2)^-3/2+(-x)l(-tfrac32r)(r^2)^-5/2cdot2x
partial^2upartial x^2 =-(r^2)^-3/2+3x^2,(r^2)^-5/2 =l(3x^2-r^2r),(r^2)^-5/2

Passo 4

Pela simetria do problema, as segundas derivadas em y e z são análogas, trocando x^2 por y^2 ou z^2:
partial^2upartial y^2 =l(3y^2-r^2r),(r^2)^-5/2, partial^2upartial z^2 =l(3z^2-r^2r),(r^2)^-5/2

Passo 5

Somando as três contribuições da laplaciana:
De<a u =partial^2upartial x^2 +partial^2upartial y^2 +partial^2upartial z^2
=l[(3x^2-r^2)+(3y^2-r^2)+(3z^2-r^2)r],(r^2)^-5/2
=l(3(x^2+y^2+z^2)-3r^2r),(r^2)^-5/2 =0
Portanto, De<a u=0 para (x,y,z)neq(0,0,0).

Resposta

A função u(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^-1/2 satisfaz a equação de Laplace em R^3setminus0 porque a sua laplaciana é zero.

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