A equação de Laplace em
é
Verifique se a função
dada por
satisfaz a equação de Laplace tridimensional para
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a função
satisfaça a equação de Laplace em
para
, ou seja, mostrar que
Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem e somá-las.
Passo 2
Defina
. Primeiro obtemos a derivada parcial em
:
Passo 3
Agora derivamos de novo em
:
Passo 4
Pela simetria do problema, as segundas derivadas em
e
são análogas, trocando
por
ou
:
Passo 5
Somando as três contribuições da laplaciana:
Portanto,
para
.
Resposta
A função
satisfaz a equação de Laplace em
porque a sua laplaciana é zero.