Calcule a derivada das funções:
f(t)=t arccos (3 t)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(t)=tarccos(3t)
e queremos f'(t). O conteúdo envolve a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Aplicando a regra do produto, se f(t)=u(t),v(t) então
f'(t)=u'(t),v(t)+u(t),v'(t)
Aqui identificamos
u(t)=t, v(t)=arccos(3t)

Passo 3

Derivando u(t)=t obtemos
u'(t)=1,
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f'(t)=1cdotarccos(3t)+tcdot v'(t) =arccos(3t)+t,v'(t)

Passo 4

Para v'(t), note que
v(t)=arccos(3t)
é composição de g(x)=arccos(x) com x=3t. Sabemos que
g'(x)=-1raiz1-x^2 e ddt(3t)=3
Pela regra da cadeia,
v'(t)=g'(3t)cdot3 =-1raiz1-(3t)^2cdot3 =-3raiz1-9t^2

Passo 5

Substituindo v'(t) em f'(t) resulta
f'(t)=arccos(3t) +tl(-3raiz1-9t^2r) =arccos(3t)-3traiz1-9t^2

Resposta

f'(t)=arccos(3t)-3traiz1-9t^2

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