Encontre:
lim x +infty raizx^2+2 x+4-xx-raizx^2-x+1

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyraizx^2+2x+4-x,x-raizx^2-x+1,
Estamos diante de uma indeterminação do tipo infty-infty. Para resolver, vamos usar a técnica de racionalização, multiplicando numerador e denominador por conjugados para eliminar as raízes.

Passo 2

Racionalizamos o numerador raizx^2+2x+4-x multiplicando por raizx^2+2x+4+x:
raizx^2+2x+4-x =l(raizx^2+2x+4-xr)l(raizx^2+2x+4+xr) raizx^2+2x+4+x =x^2+2x+4 - x^2raizx^2+2x+4+x =2x+4raizx^2+2x+4+x

Passo 3

Racionalizamos o denominador x-raizx^2-x+1 multiplicando por x+raizx^2-x+1:
x-raizx^2-x+1 =l(x-raizx^2-x+1r)l(x+raizx^2-x+1r) x+raizx^2-x+1 =x^2 - (x^2-x+1)x+raizx^2-x+1 =x-1x+raizx^2-x+1

Passo 4

Substituindo essas expressões na fração original, temos
raizx^2+2x+4-x,x-raizx^2-x+1, = 2x+4raizx^2+2x+4+x x-1x+raizx^2-x+1 =2x+4raizx^2+2x+4+x;cdot;x+raizx^2-x+1,x-1,

Passo 5

Para enxergar o comportamento quando xtoinfty, fatoramos x dentro das raízes e dividimos numerador e denominador por x:
raizx^2+2x+4=xraiz1+2x+4x^2, raizx^2-x+1=xraiz1-1x+1x^2
Logo
2x+4raizx^2+2x+4+x =2+4/xraiz1+2/x+4/x^2+1,
x+raizx^2-x+1x-1 =1+raiz1-1/x+1/x^21-1/x
Multiplicando tudo dá
(2+4x) 1+raiz1-tfrac1x+tfrac1x^2 l(raiz1+tfrac2x+tfrac4x^2+1r)l(1-tfrac1xr)

Passo 6

Fazendo xtoinfty vemos que tfrac1x,tfrac1x^2to0, então
2+4xto2, raiz1+2x+4x^2to1, raiz1-1x+1x^2to1, 1-1xto1
Portanto o limite vale
2;times;1+1(1+1),1 ;=;2;times;22 ;=;2

Resposta

2

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