Calcule a derivada das funções:
f(x)=(x^4-2 x) cdot sen(x)raizx

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(x^4-2xr),sen(x)raizx
O conteúdo principal é a regra do produto (aqui entre três fatores) e a regra da potência para derivar x^-1/2. Vamos reescrever
f(x) = l(x^4-2xr),sen(x),x^-tfrac12

Passo 2

Definimos três funções auxiliares:
u(x)=x^4-2x, v(x)=sen(x), w(x)=x^-tfrac12
Suas derivadas são
u'(x)=4x^3-2, v'(x)=cos(x), w'(x)=-tfrac12,x^-tfrac32

Passo 3

Aplicamos a regra do produto para três fatores:
f'(x)=u'(x),v(x),w(x)+u(x),v'(x),w(x)+u(x),v(x),w'(x)
Substituindo:
f'(x)=(4x^3-2),sen(x),x^-tfrac12 +(x^4-2x),cos(x),x^-tfrac12 -(x^4-2x),sen(x),tfrac12,x^-tfrac32

Passo 4

Vamos simplificar potências de x.
  1. (4x^3-2),x^-tfrac12=4x^tfrac52-2x^-tfrac12
  2. (x^4-2x),x^-tfrac12=x^tfrac72-2x^tfrac12
  3. tfrac12,(x^4-2x),x^-tfrac32=tfrac12,x^tfrac52-x^-tfrac12
Assim
f'(x)=l(4x^tfrac52-2x^-tfrac12r)sen(x) +l(x^tfrac72-2x^tfrac12r)cos(x) -l(tfrac12,x^tfrac52-x^-tfrac12r)sen(x)

Passo 5

Agora agrupamos termos semelhantes em sen(x). Para x^5/2,sen(x) vem 4-tfrac12=tfrac72. Para x^-1/2,sen(x) vem -2-(-1)=-1. Logo
f'(x) =tfrac72,x^tfrac52,sen(x) -x^-tfrac12,sen(x) +x^tfrac72cos(x) -2x^tfrac12cos(x)
Fatorando x^-tfrac12=tfrac1raizx:
f'(x) =l(tfrac72x^3-1r)sen(x) +(x^4-2x)cos(x)raizx

Resposta

f'(x) =l(72x^3-1r),sen(x) +(x^4-2x),cos(x)raizx

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