Exercício 2. (Apostol, capítulo 8.5, exercícios 5 e 8)
Mostre que a intersecção de conjuntos fechados é fechado e a união de finitos conjuntos fechados é fechado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas propriedades de conjuntos fechados em um espaço métrico (ou topológico):
  1. A intersecção de uma família arbitrária de conjuntos fechados é fechada.
  2. A união de um número finito de conjuntos fechados é fechada.
Vamos usar a definição equivalente: um conjunto F é fechado se, e somente se, o seu complementar Xsetminus F é um conjunto aberto. Também vamos usar as Leis de De Morgan para complementar união e intersecção.

Passo 2

Seja Falphaalphain A uma família (possivelmente infinita) de conjuntos fechados em X. Para cada alpha temos que
Ualpha = Xsetminus Falpha
é aberto. Então pelo complemento da intersecção e pela Lei de De Morgan
Xsetminus l(capalphain A Falphar) = cupalphain A l(Xsetminus Falphar) = cupalphain A Ualpha
Mas a união arbitrária de abertos é aberta, logo Xsetminus l(capalphaFalphar) é aberto. Isso mostra que capalphain AFalpha é fechado.

Passo 3

Sejam F1,F2,dots,Fn um número finito de conjuntos fechados. Definimos para cada i
Ui = Xsetminus Fi,
que é aberto. Pelo complemento da união e pela Lei de De Morgan, temos
Xsetminus l(F1cup F2cupcdotscup Fnr) = l(Xsetminus F1r)cap l(Xsetminus F2r)capcdotscap l(Xsetminus Fnr) = U1cap U2capcdotscap Un
Como a intersecção finita de conjuntos abertos é aberta, concluímos que Xsetminus (F1cupcdotscup Fn) é aberto. Portanto F1cupcdotscup Fn é fechado.

Resposta

A intersecção arbitrária de conjuntos fechados é fechada, e a união finita de conjuntos fechados é fechada.

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