Exercício 2. (Apostol, capítulo 8.5, exercícios 5 e 8)
Mostre que a intersecção de conjuntos fechados é fechado e a união de finitos conjuntos fechados é fechado.
Mostre que a intersecção de conjuntos fechados é fechado e a união de finitos conjuntos fechados é fechado.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas propriedades de conjuntos fechados em um espaço métrico (ou topológico):
- A intersecção de uma família arbitrária de conjuntos fechados é fechada.
- A união de um número finito de conjuntos fechados é fechada.
Vamos usar a definição equivalente: um conjunto
é fechado se, e somente se, o seu complementar
é um conjunto aberto. Também vamos usar as Leis de De Morgan para complementar união e intersecção.
Passo 2
Seja
uma família (possivelmente infinita) de conjuntos fechados em
. Para cada
temos que
é aberto. Então pelo complemento da intersecção e pela Lei de De Morgan
Mas a união arbitrária de abertos é aberta, logo
é aberto. Isso mostra que
é fechado.
Passo 3
Sejam
um número finito de conjuntos fechados. Definimos para cada
que é aberto. Pelo complemento da união e pela Lei de De Morgan, temos
Como a intersecção finita de conjuntos abertos é aberta, concluímos que
é aberto. Portanto
é fechado.
Resposta
A intersecção arbitrária de conjuntos fechados é fechada, e a união finita de conjuntos fechados é fechada.