Calcule a derivada das funções:
f(x)=3 cos (x)+4 raizxe^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=3cos(x)+4raizxe^x. O conteúdo envolve derivadas de funções compostas e a aplicação da regra do produto (ou quociente), além das derivadas de cos(x), raizx e e^x.

Passo 2

Para simplificar, reescrevemos f(x) como um produto:
f(x)=l(3cos(x)+4x^1/2r),e^-x

Passo 3

Definimos u(x)=3cos(x)+4x^1/2. Usando
ddxcos(x)=-sin(x), ddxx^1/2=tfrac12x^-1/2,
temos
u'(x)=-3sin(x)+4cdottfrac12x^-1/2 =-3sin(x)+2x^-1/2

Passo 4

Definimos v(x)=e^-x, cuja derivada é
v'(x)=-e^-x
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 5

Substituindo u, u', v e v' e depois fatorando e^-x, obtemos
f'(x) = e^-xl(-3sin(x)+2x^-1/2r) +l(3cos(x)+4x^1/2r)l(-e^-xr)
= e^-xl(-3sin(x)+2x^-1/2-3cos(x)-4x^1/2r)

Resposta

f'(x)=e^-xl(-3sin(x)-3cos(x)+2raizx-4raizxr)

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