Exercício 2. (Apostol, capítulo 8.5, exercícios 5 e 8)
Mostre que a união de conjuntos abertos é aberto e que a intersecção de finitos conjuntos abertos é aberto.
Mostre que a união de conjuntos abertos é aberto e que a intersecção de finitos conjuntos abertos é aberto.
Passo 1
O enunciado quer que a gente use a definição de conjunto aberto em
: um conjunto
é aberto se, para todo ponto
, existe
tal que
fica contido em
.
Precisamos mostrar duas coisas:
Precisamos mostrar duas coisas:
- Se
é família arbitrária de abertos, então é aberto. - Se
são abertos, então é aberto.
Passo 2
Prova de que a união arbitrária é aberta.
Seja
Seja
e tome um ponto qualquer
. Como
está na união, existe algum índice
tal que
. Mas
é aberto, então vale:
existe tal que
existe
Como
, segue
Isso mostra que, para todo
, há uma bola ao redor de
contida em
, logo
é aberto.
Passo 3
Prova de que a intersecção finita é aberta.
Sejam conjuntos abertos e considere
Sejam
Pegue um ponto qualquer
. Então
para cada
. Como cada
é aberto, para cada
existe
tal que
Seja
Então
e para qualquer
temos
Isto implica
mostrando que
é aberto.
Resposta
A união de qualquer família de conjuntos abertos é um conjunto aberto, e a intersecção de um número finito de conjuntos abertos também é um conjunto aberto.