Exercício 2. (Apostol, capítulo 8.5, exercícios 5 e 8)
Mostre que a união de conjuntos abertos é aberto e que a intersecção de finitos conjuntos abertos é aberto.

Passo 1

O enunciado quer que a gente use a definição de conjunto aberto em R^n: um conjunto UsubsetR^n é aberto se, para todo ponto xin U, existe varepsilon>0 tal que
B(x,varepsilon);=;yinR^n:|y-x|<varepsilon
fica contido em U.
Precisamos mostrar duas coisas:
  1. Se Ualphaalphain I é família arbitrária de abertos, então cupalphain IUalpha é aberto.
  2. Se U1,U2,dots,Un são abertos, então capk=1^n Uk é aberto.

Passo 2

Prova de que a união arbitrária é aberta.
Seja
U=cupalphain IUalpha
e tome um ponto qualquer xin U. Como x está na união, existe algum índice betain I tal que xin Ubeta. Mas Ubeta é aberto, então vale:
existe varepsilon>0 tal que
B(x,varepsilon);subset;Ubeta
Como Ubetasubset U, segue
B(x,varepsilon);subset;U
Isso mostra que, para todo xin U, há uma bola ao redor de x contida em U, logo U é aberto.

Passo 3

Prova de que a intersecção finita é aberta.
Sejam U1,U2,dots,Un conjuntos abertos e considere
V=capk=1^n Uk
Pegue um ponto qualquer xin V. Então xin Uk para cada k=1,2,dots,n. Como cada Uk é aberto, para cada k existe varepsilonk>0 tal que
B(x,varepsilonk);subset;Uk
Seja
varepsilon=minvarepsilon1,varepsilon2,dots,varepsilonn
Então varepsilon>0 e para qualquer k temos
B(x,varepsilon);subset;B(x,varepsilonk);subset;Uk
Isto implica
B(x,varepsilon);subset;capk=1^n Uk ;=;V,
mostrando que V é aberto.

Resposta

A união de qualquer família de conjuntos abertos é um conjunto aberto, e a intersecção de um número finito de conjuntos abertos também é um conjunto aberto.

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