Calcule a derivada das funções:
f(x)=x^2 ln (x) arcsen(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x^2,ln(x),arcsen(x)
Este é um produto de três fatores, então vamos usar a regra do produto estendida e, dentro dela, a regra da cadeia para ln(x) e arcsen(x).

Passo 2

Relembrando as derivadas que vamos precisar:
ddxl(x^2r)=2x, ddxl(ln(x)r)=1x, ddxl(arcsen(x)r)=1raiz1-x^2

Passo 3

Defina
u(x)=x^2, v(x)=ln(x), w(x)=arcsen(x)
Então a regra do produto para três fatores diz:
f'(x)=u'(x),v(x),w(x)+u(x),v'(x),w(x)+u(x),v(x),w'(x)

Passo 4

Agora computamos termo a termo:
  1. u'(x),v(x),w(x)=2x;ln(x);arcsen(x)
  2. u(x),v'(x),w(x)=x^2cdot1x;arcsen(x)=x;arcsen(x)
  3. u(x),v(x),w'(x)=x^2,ln(x);1raiz1-x^2
Somando esses três termos, obtemos
f'(x)=2xln(x),arcsen(x) +x,arcsen(x) +x^2ln(x)raiz1-x^2

Resposta

f'(x) =2xln(x),arcsen(x) +x,arcsen(x) +x^2ln(x)raiz1-x^2

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