Exercício 1. (Apostol, capítulo 8.3, exercícios 6) Seja S o subconjunto de R^2 descrito abaixo. Use um argumento geométrico para determinar se eles são abertos e/ou fechados ou não são nem abertos nem fechados.
y >= x^2 e |x| <= 2.

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
S = (x,y)inR^2 mid y >= x^2,;|x|<=2
e pede para decidir se S é aberto, fechado, ambos ou nenhum. O conteúdo é topologia em R^2: reconhecer abertos e fechados via argumentos de continuidade e contra-exemplo de bola aberta.

Passo 2

Mostramos que S é fechado escrevendo-o como interseção de dois fechados. Defina
A = (x,y)mid y>= x^2,
que é o contra-imagem do fechado [0,infty) pela função contínua
f(x,y)=y-x^2
Logo, A=f^-1([0,infty)) é fechado. Também
B = (x,y)mid |x|<=2
é o contra-imagem do fechado [-2,2] pela projeção (x,y)mapsto x, logo B é fechado. Como
S = Acap B,
seguimos que S é fechado.

Passo 3

Para ver que S não é aberto basta notar que qualquer ponto na fronteira não admite bola totalmente contida em S. Por exemplo, em (0,0)in S qualquer bola Bvarepsilon(0,0) contém pontos com y< x^2, ou seja, fora de S. Assim não existe varepsilon>0 tal que Bvarepsilon(0,0)subset S, logo S não é aberto.

Resposta

S é fechado e não é aberto.

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