Exercício 1. (Apostol, capítulo 8.3, exercícios 6) Seja
o subconjunto de
descrito abaixo. Use um argumento geométrico para determinar se eles são abertos e/ou fechados ou não são nem abertos nem fechados.
e
.
Passo 1
O enunciado define o subconjunto
e pede para decidir se
é aberto, fechado, ambos ou nenhum. O conteúdo é topologia em
: reconhecer abertos e fechados via argumentos de continuidade e contra-exemplo de bola aberta.
Passo 2
Mostramos que
é fechado escrevendo-o como interseção de dois fechados. Defina
que é o contra-imagem do fechado
pela função contínua
Logo,
é fechado. Também
é o contra-imagem do fechado
pela projeção
, logo
é fechado. Como
seguimos que
é fechado.
Passo 3
Para ver que
não é aberto basta notar que qualquer ponto na fronteira não admite bola totalmente contida em
. Por exemplo, em
qualquer bola
contém pontos com
, ou seja, fora de
. Assim não existe
tal que
, logo
não é aberto.