Exercício 1. (Apostol, capítulo 8.3, exercícios 6) Seja
o subconjunto de
descrito abaixo. Use um argumento geométrico para determinar se eles são abertos e/ou fechados ou não são nem abertos nem fechados.
e
.
Passo 1
O enunciado define o subconjunto
O conteúdo aqui é topologia em : precisamos usar as definições de conjunto aberto (todo ponto de
tem vizinhança totalmente contida em
) e de conjunto fechado (contém todos os seus pontos-limite).
O conteúdo aqui é topologia em
Passo 2
Teste de abertura: suponha que
esteja sobre a fronteira parabólica, ou seja
com
. Para qualquer
, a bola aberta de raio
centrada em
contém pontos com segunda coordenada
, pois podemos descer um pouco no sentido vertical. Esses pontos não satisfazem
, logo não pertencem a
. Assim não existe
-vizinhança inteira em
, e
não é aberto.
Passo 3
Teste de fechadura: considere a sequência de pontos
para
. Cada
pois
e
. Mas
quando
. Esse ponto-limite
não pertence a
porque falha
. Logo
não contém todos os seus pontos-limite e não é fechado.