Exercício 1. (Apostol, capítulo 8.3, exercícios 6) Seja S o subconjunto de R^2 descrito abaixo. Use um argumento geométrico para determinar se eles são abertos e/ou fechados ou não são nem abertos nem fechados.
y >= x^2 e |x|<2.

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
S = (x,y)inR^2 mid y >= x^2 e |x|<2
O conteúdo aqui é topologia em R^2: precisamos usar as definições de conjunto aberto (todo ponto de S tem vizinhança totalmente contida em S) e de conjunto fechado (contém todos os seus pontos-limite).

Passo 2

Teste de abertura: suponha que (x0,y0)in S esteja sobre a fronteira parabólica, ou seja y0 = x0^2 com |x0|<2. Para qualquer varepsilon>0, a bola aberta de raio varepsilon centrada em (x0,y0) contém pontos com segunda coordenada y < x0^2, pois podemos descer um pouco no sentido vertical. Esses pontos não satisfazem y>= x^2, logo não pertencem a S. Assim não existe varepsilon-vizinhança inteira em S, e S não é aberto.

Passo 3

Teste de fechadura: considere a sequência de pontos
(xn,yn) = l(2 - tfrac1n,,(2-tfrac1n)^2 + 1r),
para n=1,2,3,dots. Cada (xn,yn)in S pois |xn|<2 e yn>(2-tfrac1n)^2. Mas (xn,yn)to(2,,2^2+1)=(2,5) quando ntoinfty. Esse ponto-limite (2,5) não pertence a S porque falha |x|<2. Logo S não contém todos os seus pontos-limite e não é fechado.

Resposta

S não é nem aberto nem fechado.

Exercícios relacionados