Calcule a derivada das funções:
f(x)=\sqrt{\frac{2 x+8}{9+3 x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt{\frac{2x+8}{9+3x}}.
Aqui temos uma composição: a função externa é a raiz quadrada f(u)=\sqrt{u} e a função interna é o quociente u(x)=\frac{2x+8}{9+3x}. Para resolver, vamos usar a regra do quociente para u'(x) e depois a regra da cadeia para f'(x).

Passo 2

Definimos
u(x)=\frac{2x+8}{9+3x}.
Aplicando a regra do quociente,
u'(x) =\frac{(2)\,(9+3x)\;-\;(2x+8)\,(3)}{(9+3x)^2} =\frac{18+6x-6x-24}{(9+3x)^2} =\frac{-6}{(9+3x)^2}.

Passo 3

Como
f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{1/2},
pela regra da cadeia
f'(x) =\frac12\,u(x)^{-1/2}\;\cdot\;u'(x) =\frac12\;\frac{-6}{(9+3x)^2}\;\Bigl(\frac{2x+8}{9+3x}\Bigr)^{-\!1/2}.
Fatorando e simplificando a raiz, obtemos
f'(x) =-3\;\frac{1}{(9+3x)^2}\; \sqrt{\frac{9+3x}{2x+8}} =-\frac{3}{(9+3x)^{3/2}\,\sqrt{2x+8}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{3}{(9+3x)^{3/2}\,\sqrt{2x+8}}.

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