Calcule a derivada das funções:
f(x)=\frac{t g(x)}{1+x};

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\dfrac{t\,g(x)}{1+x}.
Aqui vamos usar a regra do quociente (ou equivalente regra do produto + cadeia), lembrando que t é uma constante.

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=t\,g(x)\,(1+x)^{-1}
para poder aplicar regra do produto entre g(x) e (1+x)^{-1}.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto a g(x)\,(1+x)^{-1} e a regra da cadeia em (1+x)^{-1}:
\frac{d}{dx}\bigl[g(x)(1+x)^{-1}\bigr] = g'(x)\,(1+x)^{-1} + g(x)\,\bigl(-1\bigr)\,(1+x)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}(1+x)
como \frac{d}{dx}(1+x)=1.

Passo 4

Multiplicando tudo por t, obtemos
f'(x) = t\Bigl(g'(x)\,(1+x)^{-1} - g(x)\,(1+x)^{-2}\Bigr).

Passo 5

Juntando num único denominador (1+x)^2, fica
f'(x) = \frac{t\bigl((1+x)\,g'(x) - g(x)\bigr)}{(1+x)^2}.

Resposta

f'(x)=\frac{t\bigl((1+x)\,g'(x) - g(x)\bigr)}{(1+x)^2}.

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