Calcule a derivada das funções:
f(x)=[tg(x)]^e^x+4

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = l[tan(x)r]^,e^x+4
O conteúdo que vamos aplicar inclui diferenciação de potência com expoente variável (uso de logaritmo para simplificar), regra do produto e regra da cadeia, além da derivada de tan(x), que é sec^2(x).

Passo 2

Fazemos diferenciação logarítmica. Seja y=f(x). Então
ln y = lnl[tan(x)r]^,e^x+4 = l(e^x+4r),lnl(tan(x)r)

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo vem tfrac1yy'. No direito, usamos regra do produto em l(e^x+4r) e ln(tan x):
y'y = ddxl(e^x+4r)cdotlnl(tan xr) + l(e^x+4r)cdotddxl[ln(tan x)r]
Como ddxl(e^x+4r)=e^x e
ddxln(tan x)=1tan xcdotsec^2(x),
temos
y'y = e^x,lnl(tan xr) + l(e^x+4r),sec^2(x)tan(x)

Passo 4

Isolando y', lembrando que y=f(x)=[tan(x)]^,e^x+4, obtemos
y' = f'(x) = f(x),gl[e^x,lnl(tan xr) + l(e^x+4r),sec^2(x)tan(x)gr]

Resposta

f'(x) = l[tan(x)r]^,e^x+4 l[ e^x,lnl(tan xr) + l(e^x+4r),sec^2(x)tan(x) r]

Exercícios relacionados