Calcule a derivada das funções: f(x) = (3x + 1)^4

Passo 1

Beleza, a gente precisa calcular a derivada da função . Isso está relacionado ao estudo das derivadas, mais especificamente à regra da cadeia, que usamos para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem essa composição. Aqui, temos uma função externa e uma função interna:
  • Função externa: onde
  • Função interna:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. Essa regra nos diz que a derivada da função composta é a derivada da função externa em relação a multiplicada pela derivada da função interna em relação a .
Matematicamente, isso fica assim:

Passo 4

Vamos calcular cada uma das derivadas:
  1. Derivada da função externa em relação a :
  1. Derivada da função interna em relação a :
Agora, multiplicando essas duas derivadas:
Por fim, substituímos de volta na expressão:

Resposta

A derivada de é .

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