(2,0) Calcule a derivada das funções a seguir.
(b) f(x)=\left(x^{3}+\sqrt{x}\right) \cos x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\bigl(x^{3}+\sqrt{x}\bigr)\cos x.
O conteúdo principal aqui é a regra do produto, junto com a regra da potência para derivar \sqrt{x}=x^{1/2}.

Passo 2

Vamos escrever
u(x)=x^{3}+\sqrt{x}, \quad v(x)=\cos x,
de modo que f(x)=u(x)\,v(x).

Passo 3

Derivando u(x) usamos a regra da potência:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr) =3x^{2}+\frac{1}{2}x^{-1/2} =3x^{2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Derivando v(x) temos
v'(x)=\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x.

Passo 5

Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u, u', v e v',
f'(x) =\Bigl(3x^{2}+\tfrac{1}{2\sqrt{x}}\Bigr)\cos x +(x^{3}+\sqrt{x})\bigl(-\sin x\bigr) =\Bigl(3x^{2}+\tfrac{1}{2\sqrt{x}}\Bigr)\cos x -\bigl(x^{3}+\sqrt{x}\bigr)\sin x.

Resposta

f'(x) =\Bigl(3x^{2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\Bigr)\cos x -\bigl(x^{3}+\sqrt{x}\bigr)\sin x.

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