Considere a função
.
(a)
Determine o domínio de
(b)
Estude os intervalos de crescimento e decrescimento de
;
(c)
Estude a concavidade e os pontos de inflexão de
;
(d)
Calcule
e
. Caso exista
, calcule os limites laterais de
neste ponto.
(e)
Esta função admite raízes? Justifique.
(f)
Com as informações obtidas acima, esboce o gráfico de
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado pede várias análises da função
em
, exceto onde não está definida. Vamos determinar (a) o domínio, (b) monotonicidade, (c) concavidade e pontos de inflexão, (d) limites no infinito e nos pontos de não definição, (e) existência de raízes e (f) esboçar o gráfico. Para isso usaremos derivadas, limites e interpretação geométrica de assíntotas.
Passo 2
Para achar o domínio, basta exigir que o denominador não seja zero. Assim
logo
Passo 3
Estudamos o sinal de
. Pela regra do quociente:
Como
para todo
, segue que
em cada intervalo do domínio. Logo
é crescente em
e em
.
Passo 4
Calculamos a segunda derivada para ver concavidade:
Para
,
então
(concavidade para cima). Para
,
então
(concavidade para baixo). Não há ponto de inflexão em que
seja contínua, pois a mudança de sinal ocorre em
, fora do domínio.
Passo 5
Analisamos os limites em
e em
.
Para , dividindo numerador e denominador por
:
Para
Em
:
Logo há assíntota vertical em
e horizontal em
.
Passo 6
Para raízes, resolvemos
Como
,
pertence ao domínio. Logo a função admite exatamente uma raiz em
.
Passo 7
Com tudo em mãos, o gráfico de
é crescente em cada ramo, passa por
, é côncava para cima em
e côncava para baixo em
, tem assíntota vertical
e horizontal
.
Resposta
(a)
(b) , logo
é crescente em
e em
.
(c) , concavidade para cima em
, para baixo em
, sem ponto de inflexão no domínio.
(d) . Em
:
,
.
(e) Sim, existe a raiz .
(f) Gráfico crescente em ambos os ramos, assíntota vertical , horizontal
, passa por
, muda concavidade em
.
(b)
(c)
(d)
(e) Sim, existe a raiz
(f) Gráfico crescente em ambos os ramos, assíntota vertical