(4,0) Considere a função f(x)=\frac{x}{x+1}.
(a) (0,5) Determine o domínio de f ;(0,5)
(b) (0,5) Estude os intervalos de crescimento e decrescimento de f;
(c) (0,5) Estude a concavidade e os pontos de inflexão de f;
(d) (1,0) Calcule \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) e \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x). Caso exista p \notin D f, calcule os limites laterais de f neste ponto.
(e) (0,5) Esta função admite raízes? Justifique.
(f) (1,0) Com as informações obtidas acima, esboce o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede várias análises da função
f(x)=\frac{x}{x+1}
em \mathbb{R}, exceto onde não está definida. Vamos determinar (a) o domínio, (b) monotonicidade, (c) concavidade e pontos de inflexão, (d) limites no infinito e nos pontos de não definição, (e) existência de raízes e (f) esboçar o gráfico. Para isso usaremos derivadas, limites e interpretação geométrica de assíntotas.

Passo 2

Para achar o domínio, basta exigir que o denominador não seja zero. Assim
x+1\neq0
logo
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}.

Passo 3

Estudamos o sinal de f'(x). Pela regra do quociente:
f'(x) =\frac{(x+1)\cdot1 - x\cdot1}{(x+1)^2} =\frac{1}{(x+1)^2}.
Como (x+1)^2>0 para todo x\neq-1, segue que f'(x)>0 em cada intervalo do domínio. Logo f é crescente em (-\infty,-1) e em (-1,+\infty).

Passo 4

Calculamos a segunda derivada para ver concavidade:
f''(x) =\frac{d}{dx}\bigl((x+1)^{-2}\bigr) =-2\,(x+1)^{-3} =-\frac{2}{(x+1)^3}.
Para x<-1, (x+1)^3<0 então f''(x)>0 (concavidade para cima). Para x>-1, (x+1)^3>0 então f''(x)<0 (concavidade para baixo). Não há ponto de inflexão em que f seja contínua, pois a mudança de sinal ocorre em x=-1, fora do domínio.

Passo 5

Analisamos os limites em \pm\infty e em x=-1.
Para x\to\pm\infty, dividindo numerador e denominador por x:
\lim_{x\to\pm\infty}f(x) =\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{1+1/x} =1.
Em x\to-1:
\lim_{x\to-1^-}f(x) =\frac{-1}{0^-}=+\infty, \qquad \lim_{x\to-1^+}f(x) =\frac{-1}{0^+}=-\infty.
Logo há assíntota vertical em x=-1 e horizontal em y=1.

Passo 6

Para raízes, resolvemos
\frac{x}{x+1}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0.
Como 0\neq -1, x=0 pertence ao domínio. Logo a função admite exatamente uma raiz em x=0.

Passo 7

Com tudo em mãos, o gráfico de f é crescente em cada ramo, passa por (0,0), é côncava para cima em (-\infty,-1) e côncava para baixo em (-1,\infty), tem assíntota vertical x=-1 e horizontal y=1.

Resposta

(a) \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}.
(b) f'(x)=\frac1{(x+1)^2}>0, logo f é crescente em (-\infty,-1) e em (-1,\infty).
(c) f''(x)=-\tfrac{2}{(x+1)^3}, concavidade para cima em (-\infty,-1), para baixo em (-1,\infty), sem ponto de inflexão no domínio.
(d) \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1. Em x=-1: \lim_{x\to-1^-}f(x)=+\infty, \lim_{x\to-1^+}f(x)=-\infty.
(e) Sim, existe a raiz x=0.
(f) Gráfico crescente em ambos os ramos, assíntota vertical x=-1, horizontal y=1, passa por (0,0), muda concavidade em x=-1.

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