Uma estação de televisão afirma que 60% dos televisores estavam ligados no seu programa especial de última segunda feira. Uma rede competidora deseja contestar essa afirmação, e decide, para isso, usar uma amostra de 200 famílias obtendo 104 respostas afirmativas. Qual a conclusão ao nível de 5% de significância?

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos testar a afirmação de que a verdadeira proporção de televisores ligados no programa especial é p_{0}=0{,}6. Obtivemos uma amostra de n=200 famílias com x=104 respostas afirmativas. O nível de significância é \alpha=0{,}05. O conteúdo é teste de hipótese para proporção com aproximação normal (caso np_{0} e n(1-p_{0}) grandes).

Passo 2

Formulamos as hipóteses e calculamos a proporção amostral:
H_{0}:p = p_{0}=0{,}6
H_{1}:p \neq 0{,}6
\hat{p} = \dfrac{x}{n} = \dfrac{104}{200} = 0{,}52.

Passo 3

Calculamos o erro padrão sob H_{0} e a estatística de teste z:
\text{SE} = \sqrt{\frac{p_{0}(1-p_{0})}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}6\cdot 0{,}4}{200}} = \sqrt{0{,}0012} \approx 0{,}0346
z = \frac{\hat{p} - p_{0}}{\text{SE}} = \frac{0{,}52 - 0{,}6}{0{,}0346} \approx -2{,}31

Passo 4

Para \alpha=0{,}05 em teste bilateral, os valores críticos são z_{\alpha/2}=\pm1{,}96. Como
|z|\approx2{,}31 > 1{,}96,
rejeitamos H_{0}.

Resposta

Rejeita-se H_{0} a 5\%. Conclui-se que não há evidência para sustentar a proporção de 60\%; a verdadeira proporção difere de 0{,}6, sendo, de fato, menor.

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