Calcule a derivada das funções a seguir:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado dá a função
(eu interpretei
como o logaritmo de base
com argumento
) e pede a derivada
.
Informações relevantes: o primeiro termo é um logaritmo de base fixa aplicado a uma função polinomial; o segundo termo é uma exponencial de base fixa
com expoente dado por uma função polinomial.
Informações relevantes: o primeiro termo é um logaritmo de base fixa
Passo 2
Regra que vamos usar: derivada de um logaritmo de base
. Para qualquer função
,
Derivando, e usando a regra da cadeia, obtemos
Aqui
é a derivada de
em relação a
e
é o logaritmo natural da base
. Exemplo concreto:
.
Passo 3
Aplicando essa regra ao primeiro termo. Identificamos
Calculamos a derivada de
:
Portanto, pela fórmula do passo anterior,
Passo 4
Regra que vamos usar para o segundo termo: derivada de uma exponencial de base constante
. Para
qualquer,
e derivando obtemos, pela regra da cadeia,
Aqui
é a derivada do expoente
, e
aparece porque escrevemos a potência em termos de exponencial natural. Exemplo:
.
Passo 5
Aplicando isso ao segundo termo com
e
temos
Logo
Passo 6
Somando as derivadas dos dois termos (regra da soma: derivada da soma é soma das derivadas), obtemos a derivada total: