Calcule a derivada das funções a seguir:
(b) y=\log _{10}^{x^{3}+x-1}+\pi^{x^{2}-2 x+1}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\log_{10}\bigl(x^{3}+x-1\bigr)+\pi^{x^{2}-2x+1}
(eu interpretei \log_{10}^{x^{3}+x-1} como o logaritmo de base 10 com argumento x^{3}+x-1) e pede a derivada y'.
Informações relevantes: o primeiro termo é um logaritmo de base fixa 10 aplicado a uma função polinomial; o segundo termo é uma exponencial de base fixa \pi com expoente dado por uma função polinomial.

Passo 2

Regra que vamos usar: derivada de um logaritmo de base a>0,\;a\neq1. Para qualquer função u(x)>0,
\log_{a}u(x)=\frac{\ln u(x)}{\ln a}.
Derivando, e usando a regra da cadeia, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(\log_{a}u(x)\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)\,\ln a}.
Aqui u'(x) é a derivada de u em relação a x e \ln a é o logaritmo natural da base a. Exemplo concreto: \dfrac{d}{dx}\bigl(\log_{10}x\bigr)=\dfrac{1}{x\ln 10}.

Passo 3

Aplicando essa regra ao primeiro termo. Identificamos
u(x)=x^{3}+x-1.
Calculamos a derivada de u:
u'(x)=3x^{2}+1.
Portanto, pela fórmula do passo anterior,
\frac{d}{dx}\left[\log_{10}\bigl(x^{3}+x-1\bigr)\right]=\frac{3x^{2}+1}{\bigl(x^{3}+x-1\bigr)\,\ln 10}.

Passo 4

Regra que vamos usar para o segundo termo: derivada de uma exponencial de base constante a>0. Para v(x) qualquer,
a^{v(x)}=e^{v(x)\ln a},
e derivando obtemos, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(a^{v(x)}\bigr)=a^{v(x)}\ln(a)\,v'(x).
Aqui v'(x) é a derivada do expoente v, e \ln(a) aparece porque escrevemos a potência em termos de exponencial natural. Exemplo: \dfrac{d}{dx}\bigl(2^{x}\bigr)=2^{x}\ln 2.

Passo 5

Aplicando isso ao segundo termo com a=\pi e
v(x)=x^{2}-2x+1,
temos
v'(x)=2x-2.
Logo
\frac{d}{dx}\left[\pi^{x^{2}-2x+1}\right]=\pi^{x^{2}-2x+1}\ln(\pi)\,(2x-2).

Passo 6

Somando as derivadas dos dois termos (regra da soma: derivada da soma é soma das derivadas), obtemos a derivada total:
y'=\frac{3x^{2}+1}{\bigl(x^{3}+x-1\bigr)\,\ln 10}+\bigl(2x-2\bigr)\ln(\pi)\,\pi^{x^{2}-2x+1}.

Resposta

y'=\frac{3x^{2}+1}{\bigl(x^{3}+x-1\bigr)\,\ln 10}+\bigl(2x-2\bigr)\ln(\pi)\,\pi^{x^{2}-2x+1}

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