Calcule a derivada das funções a seguir:
(c) y=x \ln \left(2 x^{3}-x^{2}+\pi^{2025}\right)+\pi e^{5 x^{4}-x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y = x \ln\!\left(2 x^{3}-x^{2}+\pi^{2025}\right)+\pi e^{5 x^{4}-x+1}.
Informações importantes dadas:
\text{a função é a soma de duas parcelas: }u(x)=x\ln\!\left(2x^{3}-x^{2}+\pi^{2025}\right)\quad\text{e}\quad v(x)=\pi e^{5x^{4}-x+1}.çãé
Queremos encontrar y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Observação sobre constantes e notação:
  • \pi é uma constante (o número pi), então \pi^{2025} é constante e sua derivada é 0.
  • Como y é soma de u(x) e v(x), temos
y' = u'(x) + v'(x).
Vou derivar cada parcela separadamente e depois somar.

Passo 3

Derivada da primeira parcela u(x)=x\ln\!\big(T(x)\big) com
T(x)=2x^{3}-x^{2}+\pi^{2025}.
Usamos a regra do produto: se f(x)=a(x)b(x) então
f'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x).
Aqui a(x)=x e b(x)=\ln\!\big(T(x)\big). Então a'(x)=1. Precisamos de b'(x).
Para b(x)=\ln\!\big(T(x)\big) usamos a regra da derivada do logaritmo composta com uma função (regra da cadeia): se b(x)=\ln\!\big(T(x)\big) então
b'(x)=\frac{T'(x)}{T(x)}.
Calculamos T'(x). Como \pi^{2025} é constante:
T'(x)=\frac{d}{dx}\big(2x^{3}-x^{2}+\pi^{2025}\big)=6x^{2}-2x.
Logo
b'(x)=\frac{6x^{2}-2x}{2x^{3}-x^{2}+\pi^{2025}}.
Aplicando a regra do produto:
u'(x)=1\cdot\ln\!\big(2x^{3}-x^{2}+\pi^{2025}\big)+x\cdot\frac{6x^{2}-2x}{2x^{3}-x^{2}+\pi^{2025}}.
Multiplicando x(6x^{2}-2x)=6x^{3}-2x^{2}, então podemos escrever
u'(x)=\ln\!\big(2x^{3}-x^{2}+\pi^{2025}\big)+\frac{6x^{3}-2x^{2}}{2x^{3}-x^{2}+\pi^{2025}}.

Passo 4

Derivada da segunda parcela v(x)=\pi e^{5x^{4}-x+1}.
Regra do constante: a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Além disso, derivada de e^{u(x)} é u'(x)e^{u(x)} (regra da cadeia).
Aqui u(x)=5x^{4}-x+1. Então
u'(x)=20x^{3}-1.
Logo
v'(x)=\pi\cdot\big(20x^{3}-1\big)\,e^{5x^{4}-x+1}.

Passo 5

Somando as derivadas obtidas:
y' = u'(x)+v'(x)
y'=\ln\!\big(2x^{3}-x^{2}+\pi^{2025}\big)+\frac{6x^{3}-2x^{2}}{2x^{3}-x^{2}+\pi^{2025}}+\pi\big(20x^{3}-1\big)e^{5x^{4}-x+1}.

Resposta

y'=\ln\!\big(2x^{3}-x^{2}+\pi^{2025}\big)+\frac{6x^{3}-2x^{2}}{2x^{3}-x^{2}+\pi^{2025}}+\pi\big(20x^{3}-1\big)e^{5x^{4}-x+1}

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