Calcule a derivada das funções a seguir
f(x)=x^3 e^2 x(x^2+2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^3,e^2x,(x^2+2x)
Este exercício envolve produto de três funções, então vamos usar a regra do produto generalizada.

Passo 2

Identificamos
u(x)=x^3, v(x)=e^2x, w(x)=x^2+2x,
e calculamos suas derivadas:
u'(x)=3x^2, v'(x)=2e^2x, w'(x)=2x+2

Passo 3

Aplicando a regra do produto para três fatores, temos
f'(x)=u'(x),v(x),w(x)+u(x),v'(x),w(x)+u(x),v(x),w'(x)

Passo 4

Substituindo u,u',v,v',w,w':
f'(x) =3x^2,e^2x,(x^2+2x) +x^3,(2e^2x),(x^2+2x) +x^3,e^2x,(2x+2)

Passo 5

Vamos fatorar x^2e^2x em todas as parcelas:
f'(x) =x^2e^2xl[3(x^2+2x)+2x(x^2+2x)+x(2x+2)r]
Agora somamos os termos dentro dos colchetes:
3x^2+6x+2x^3+4x^2+2x^2+2x =2x^3+9x^2+8x
Então
f'(x)=x^2e^2x(2x^3+9x^2+8x)
E por fim, fatorando mais um x:
f'(x)=x^3e^2x(2x^2+9x+8)

Resposta

f'(x)=x^3e^2xl(2x^2+9x+8r)

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