Calcule a derivada das funções a seguir.
f(x)=(x^3+raizx) cosec x;

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(x^3+raizxr),csc x
O conteúdo envolvido é o produto de funções e a derivada de csc x. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^3+raizx, v(x)=csc x
Primeiro calculamos u'(x). Como raizx=x^1/2,
u'(x)=3x^2+12,x^-1/2 =3x^2+12raizx

Passo 3

Agora calculamos v'(x). Sabemos que
ddxl(csc xr) =-csc x,cot x
Logo
v'(x)=-csc x,cot x

Passo 4

Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Substituindo u,u',v,v':
f'(x) =l(3x^2+12raizxr)csc x +l(x^3+raizxr)l(-csc x,cot xr)

Resposta

f'(x) =csc xl(3x^2+12raizxr) -(x^3+raizx),csc x,cot x

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