Exercício 2.7. Seja
tal que
. Mostre que
é injetiva.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função
que satisfaz
para todo
. Queremos mostrar que
é injetiva. Para isso, vamos usar a definição de injetividade e a propriedade de que
é sua própria inversa (involução).
Passo 2
Recordando a definição de injetividade: uma função
é injetiva se, sempre que
então necessariamente
Logo, adotamos a hipótese
e buscamos derivar
.
Passo 3
Partindo de
, aplicamos
em ambos os lados e usamos a condição
. Assim,
Isso completa a prova de que
é injetiva.