Exercício 2.7. Seja f: R R tal que f(f(x))=x. Mostre que f é injetiva.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função f:RtoR que satisfaz
f(f(x)) = x
para todo xinR. Queremos mostrar que f é injetiva. Para isso, vamos usar a definição de injetividade e a propriedade de que f é sua própria inversa (involução).

Passo 2

Recordando a definição de injetividade: uma função f é injetiva se, sempre que
f(a)=f(b),
então necessariamente
a=b
Logo, adotamos a hipótese f(a)=f(b) e buscamos derivar a=b.

Passo 3

Partindo de f(a)=f(b), aplicamos f em ambos os lados e usamos a condição f(f(x))=x. Assim,
fl(f(a)r)=fl(f(b)r) Longrightarrow a = b
Isso completa a prova de que f é injetiva.

Resposta

f é injetiva.

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