Calcule a derivada das funções a seguir
f(x)=raizx e^2 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=raizx,e^2x
O conteúdo usado será a regra da cadeia (para a raiz) e a regra do produto (para x,e^2x).

Passo 2

Reescrevemos a função como potência e aplicamos a regra da cadeia. Defina
g(x)=x,e^2x,
então
f(x)=[g(x)]^tfrac12 Longrightarrow f'(x)=12,[g(x)]^-tfrac12,g'(x)

Passo 3

Calculamos g'(x) pela regra do produto:
g'(x)=ddxl(xr)cdot e^2x+xcdotddxl(e^2xr) =1cdot e^2x+xcdot(2e^2x) =e^2x(1+2x)

Passo 4

Substituindo g(x) e g'(x) na expressão de f'(x), temos
f'(x) =12,[x,e^2x]^-tfrac12,e^2x(1+2x) =e^2x(1+2x)2raizx,e^2x
Como raizx,e^2x=e^xraizx, simplificamos para
f'(x) =e^x(1+2x)2raizx

Resposta

f'(x)=e^x(1+2x)2raizx

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