1. A matriz adjunta de A, denotada por adj(A), é a transposta da matriz dos cofatores.
    a) Encontre a adj(A), onde A=(lll1 & 1 & 1 2 & 3 & 4 5 & 8 & 9).
    b) Determine a matriz B=1det(A) cdot adj(A) e verifique que B é a inversa de A.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) a matriz adjunta adj(A), que é a transposta da matriz de cofatores de A, e (2) a matriz
B=1det(A),adj(A)
e verificar que B é, de fato, A^-1.
Para isso vamos usar:
– o cálculo de det(A) por regra de Sarrus (ou expansão por cofatores),
– a definição de cofator Cij=(-1)^i+jMij, onde Mij é o menor de A que exclui a linha i e a coluna j,
– a transposição da matriz de cofatores para obter adj(A),
– e a fórmula A^-1 = tfrac1det(A),adj(A).

Passo 2

Calculemos det(A) para
A = 1 & 1 & 1 2 & 3 & 4 5 & 8 & 9
Usando a regra de Sarrus:
det(A) =1,(3cdot9-4cdot8) -1,(2cdot9-4cdot5) +1,(2cdot8-3cdot5) =1,(27-32)-1,(18-20)+1,(16-15) =-5-(-2)+1=-2

Passo 3

Agora montamos a matriz de cofatores C=[Cij] com
Cij=(-1)^i+jMij
Calculando cada menor e seu sinal, obtemos
C = -5 & 2 & 1 -1 & 4 & -3 1 & -2 & 1

Passo 4

A adjunta é a transposta de C:
adj(A) = C^T = -5 & -1 & 1 2 & 4 & -2 1 & -3 & 1

Passo 5

Usando det(A)=-2, definimos
B = 1det(A),adj(A) = -tfrac12, -5 & -1 & 1 2 & 4 & -2 1 & -3 & 1 = 52 & tfrac12 & -tfrac12 -1 & -2 & 1 -tfrac12 & tfrac32& -tfrac12

Passo 6

Para verificar que B=A^-1, basta checar A,B=I. Por exemplo, a primeira linha de A vezes a primeira coluna de B
1cdottfrac52+1cdot(-1)+1cdot(-tfrac12) =tfrac52-1-tfrac12=1,
e de modo análogo todas as entradas fora da diagonal somam zero, enquanto as da diagonal somam um. Logo A,B=I.

Resposta

(\displaystyle
\operatorname{adj}(A)

,
\quad
A^{-1}=B

.
)

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