Calcule a derivada das funções a seguir
f(x)=sin 2 xx^2+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=sin(2x)x^2+1
O conteúdo principal aqui é a regra do quociente e a regra da cadeia (para derivar sin(2x)).

Passo 2

Definimos
u(x)=sin(2x), v(x)=x^2+1
Pela regra do quociente,
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

Calculamos u'(x) usando a regra da cadeia em sin(2x):
u'(x)=ddx[sin(2x)] =cos(2x)cdotddx(2x) =2cos(2x)

Passo 4

Calculamos v'(x) como derivada de x^2+1:
v'(x)=2x

Passo 5

Substituímos u(x), u'(x), v(x) e v'(x) na fórmula da regra do quociente:
f'(x) =[2cos(2x)],(x^2+1)-[sin(2x)],(2x)(x^2+1)^2

Passo 6

No numerador, podemos fatorar 2:
f'(x) =2l[cos(2x),(x^2+1)-x,sin(2x)r](x^2+1)^2

Resposta

f'(x) =2l[cos(2x),(x^2+1)-x,sin(2x)r](x^2+1)^2

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