Mostre que os limites não existem:
lim x pi |sen(x)|sen(x)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
não existe. Para isso vamos usar que, para qualquer
e estudar os limites laterais em (x=\pi].

Passo 2

Analisando xto pi^-: quando x<pi e x se aproxima de pi, temos sin(x)>0 porque o seno é positivo em (0,pi). Logo
|sin(x)|=sin(x) Longrightarrow |sin(x)|sin(x) = 1
Portanto
limxtopi^-|sin(x)|sin(x) = 1

Passo 3

Analisando xto pi^+: quando x>pi e x se aproxima de pi, temos sin(x)<0 porque o seno é negativo em (pi,2pi). Assim
|sin(x)|=-sin(x) Longrightarrow |sin(x)|sin(x) = -1
Portanto
limxtopi^+|sin(x)|sin(x) = -1

Passo 4

Como os limites laterais são diferentes, ou seja,
limxtopi^-|sin(x)|sin(x) = 1 neq -1 = limxtopi^+|sin(x)|sin(x),
concluímos que o limite limxto pi|sin(x)|sin(x) não existe.

Resposta

O limite não existe.

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