Calcule a derivada das funções a seguir:
sec (-x^2)raizcos (2 x)-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função:
f(x) = sec(-x^2)raizcos(2x) - 1
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como a regra do quociente e a regra da cadeia. Vamos também precisar lembrar das derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que a função secante é par, ou seja, sec(-a) = sec(a). Assim:
sec(-x^2) = sec(x^2)
Então, a função fica:
f(x) = sec(x^2)raizcos(2x) - 1

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
cos(2x) - 1 = -2sin^2(x)
Portanto:
raizcos(2x) - 1 = raiz-2sin^2(x) = raiz2,i,|sin(x)|
Observamos que a expressão dentro da raiz é negativa, o que indica que para valores reais de x, a função original pode não estar definida. Mas vamos seguir com a derivação formalmente.

Passo 4

Vamos aplicar a regra do quociente para derivar f(x) = u(x)v(x), onde:
  • u(x) = sec(x^2)
  • v(x) = raizcos(2x) - 1
A regra do quociente diz que:
f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar u'(x). A derivada da função secante é:
ddxsec(g(x)) = sec(g(x))tan(g(x)) cdot g'(x)
Aqui, g(x) = x^2, então g'(x) = 2x. Então:
u'(x) = sec(x^2)tan(x^2) cdot 2x = 2x,sec(x^2)tan(x^2)

Passo 6

Agora, vamos calcular v'(x). Temos:
v(x) = [cos(2x) - 1]^1/2
Usando a regra da cadeia:
v'(x) = 12[cos(2x) - 1]^-1/2 cdot (-2sin(2x)) = -sin(2x)raizcos(2x) - 1

Passo 7

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) = 2x,sec(x^2)tan(x^2) cdot raizcos(2x) - 1 - sec(x^2) cdot (-sin(2x)raizcos(2x) - 1)[cos(2x) - 1]

Passo 8

Simplificando os sinais:
f'(x) = 2x,sec(x^2)tan(x^2) cdot raizcos(2x) - 1 + sec(x^2) cdot sin(2x)raizcos(2x) - 1cos(2x) - 1
Podemos fatorar sec(x^2) no numerador:
f'(x) = sec(x^2) [2x,tan(x^2) cdot raizcos(2x) - 1 + sin(2x)raizcos(2x) - 1]cos(2x) - 1

Passo 9

Para deixar mais organizado, podemos escrever a derivada final assim:
f'(x) = sec(x^2) (2x,tan(x^2) raizcos(2x) - 1 + dfracsin(2x)raizcos(2x) - 1)cos(2x) - 1

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = sec(x^2) (2x,tan(x^2) raizcos(2x) - 1 + dfracsin(2x)raizcos(2x) - 1)cos(2x) - 1

Exercícios relacionados