Calcule a derivada das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função:
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como a regra do quociente e a regra da cadeia. Vamos também precisar lembrar das derivadas de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que a função secante é par, ou seja,
. Assim:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o denominador usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Portanto:
Observamos que a expressão dentro da raiz é negativa, o que indica que para valores reais de
, a função original pode não estar definida. Mas vamos seguir com a derivação formalmente.
Passo 4
Vamos aplicar a regra do quociente para derivar
, onde:
A regra do quociente diz que:
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar
. A derivada da função secante é:
Aqui,
, então
. Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular
. Temos:
Usando a regra da cadeia:
Passo 7
Aplicando a regra do quociente:
Passo 8
Simplificando os sinais:
Podemos fatorar
no numerador:
Passo 9
Para deixar mais organizado, podemos escrever a derivada final assim:
Resposta
A derivada da função é: