Calcule a derivada das funções a seguir:
(x^2+2)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função (x^2+2)^3. Isso está relacionado ao conteúdo de derivadas, especificamente usando a regra da cadeia. Então, vamos precisar entender como aplicar essa regra para resolver a derivada dessa função composta.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a regra da cadeia. Ela é super útil quando a gente tem uma função dentro de outra função, ou seja, uma função composta. A ideia é que a gente deriva a função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro. É como se a gente estivesse “encadeando” as derivadas.

Passo 3

Vamos identificar as partes da nossa função. No caso de (x^2+2)^3:
  • Função externa (a de fora): (algo)^3
  • Função interna (a de dentro): x^2 + 2

Passo 4

Agora, vamos derivar a função externa em relação à função interna. Se temos (u)^3, a derivada disso em relação a u é 3u^2. Ou seja:
ddu (u^3) = 3u^2

Passo 5

Em seguida, vamos derivar a função interna em relação a x. Se temos u = x^2 + 2, então:
dudx = 2x

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:
ddx ((x^2+2)^3) = 3(x^2+2)^2 cdot 2x

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
3(x^2+2)^2 cdot 2x = 6x(x^2+2)^2

Resposta

A derivada de (x^2+2)^3 é 6x(x^2+2)^2.

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