Usar o teorema da divergência para calcular a integral de superfície dada.
integral duplaS[x d y d z+y d z d x+z d x d y], sendo S a parte da esfera x^2+y^2+z^2=1 abaixo do plano z=12, com normal exterior.

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral de superfície
integral duplaSl[x,dy,dz + y,dz,dx + z,dx,dyr],
sendo S a parte da esfera x^2+y^2+z^2=1 abaixo de z=1/2, usando o teorema da divergência. Esse tipo de integral de forma x,dy,dz + y,dz,dx + z,dx,dy representa o fluxo do campo F=(x,y,z) através da superfície. Vamos usar o teorema da divergência para transformar essa integral de superfície numa integral de volume.

Passo 2

O teorema da divergência (ou Gauss) afirma que o fluxo de F através da fronteira fechada partial V de uma região V é igual a
integral triplaV nablacdot F,dV
Aqui partial V é a união da parte da esfera S e do disco plano em z=1/2, e o fluxo total é a soma dos fluxos nessas duas superfícies.

Passo 3

Calculamos a divergência de F=(x,y,z):
nablacdot F = partial xpartial x + partial ypartial y + partial zpartial z = 1+1+1 = 3

Passo 4

Precisamos do volume de V, que é a região dentro da esfera x^2+y^2+z^2<=1 e abaixo de z=1/2. É mais fácil calcular o volume total da esfera e subtrair o volume do calote esférico acima de z=1/2.
O volume da esfera de raio 1 é
4pi3
O calote de altura h=1-tfrac12=tfrac12 tem volume
pi h^2(3R - h)3 = pi (tfrac12)^2(3cdot1 - tfrac12)3 = 5pi24
Logo o volume de V é
4pi3 - 5pi24 = 9pi8

Passo 5

A integral tripla do divergente sobre V é
3 times 9pi8 = 27pi8
Isso representa o fluxo total de F pela superfície fechada (parte da esfera + disco).

Passo 6

Agora calculamos o fluxo apenas pelo disco em z=1/2. Nesse disco, F=(x,y,1/2) e a normal para fora de V é n=(0,0,1), então
F cdot n = 12
A área do disco de raio raiz1 - (1/2)^2 = raiz3/4 é
pi l(raiz32r)^2 = 3pi4
Portanto o fluxo pelo disco é
12 times 3pi4 = 3pi8

Passo 7

O fluxo pela parte da esfera S é o fluxo total menos o fluxo pelo disco:
27pi8 - 3pi8 = 3pi

Resposta

3\pi

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