Usar o teorema da divergência para calcular a integral de superfície dada.
, sendo
a parte da esfera
abaixo do plano
, com normal exterior.
Passo 1
O enunciado pede pra calcular a integral de superfície
sendo
Passo 2
O teorema da divergência (ou Gauss) afirma que o fluxo de
através da fronteira fechada
de uma região
é igual a
Aqui
Passo 3
Calculamos a divergência de
:
Passo 4
Precisamos do volume de
, que é a região dentro da esfera
e abaixo de
. É mais fácil calcular o volume total da esfera e subtrair o volume do calote esférico acima de
.
O volume da esfera de raio 1 é
O volume da esfera de raio 1 é
O calote de altura
Logo o volume de
é
Passo 5
A integral tripla do divergente sobre
é
Isso representa o fluxo total de
Passo 6
Agora calculamos o fluxo apenas pelo disco em
. Nesse disco,
e a normal para fora de
é
, então
A área do disco de raio
Portanto o fluxo pelo disco é
Passo 7
O fluxo pela parte da esfera
é o fluxo total menos o fluxo pelo disco:
Resposta
3\pi