Para uma certa função y=f(x) sabe-se que f^prime(x)=x(x^2-x-2) e que f(0)=1.
Determine essa função.

Passo 1

Estamos lidando com uma função y = f(x) cuja derivada é f'(x) = x(x^2 - x - 2) e a condição inicial f(0) = 1. O conteúdo é integração de polinômio, em que aplicaremos a regra de potência para encontrar f(x).

Passo 2

Para obter f(x), integramos f'(x) = x^3 - x^2 - 2x termo a termo. Pela regra de potência:
integral x^3,dx = tfracx^44
integral (-x^2),dx = -tfracx^33
integral (-2x),dx = -x^2
Portanto, a primitiva geral é
f(x) = tfracx^44 - tfracx^33 - x^2 + C

Passo 3

Usando a condição inicial f(0)=1, substituímos x=0 na expressão geral e obtemos 1 = C. Logo, C = 1.

Resposta

A função é f(x) = tfracx^44 - tfracx^33 - x^2 + 1.

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