Calcule a derivada as funções a seguir, utilizando a regra da cadeia
g(x)=3raiz[3]x^3-1

Passo 1

Nesse exercício, queremos calcular a derivada da função g(x)=3raiz[3]x^3-1. O conteúdo é derivação por meio da regra da cadeia e da regra do poder, pois temos uma função composta com potência fracionária.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a função em forma de potência: g(x)=3,(x^3-1)^-tfrac13. Assim identificamos a parte interna u(x)=x^3-1 e o expoente externo -tfrac13.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia e a regra do poder. Derivamos a parte externa em relação a u e multiplicamos pela derivada de u(x). A derivada de u^n é n,u^n-1, e a derivada de u(x)=x^3-1 é u'(x)=3x^2:
ddx(x^3 - 1)^-tfrac13 = -tfrac13(x^3 - 1)^-tfrac43 cdot 3x^2

Passo 4

Multiplicando pelo fator constante 3 e simplificando os coeficientes, obtemos:
g'(x) = 3 cdot l(-tfrac13(x^3 - 1)^-tfrac43 cdot 3x^2r) = -3x^2,(x^3 - 1)^-tfrac43

Resposta

-3x^2(x^3-1)^4/3

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