CALCULE A DERIVADA DAS FUNCTÕES
f(x)=(x^2+1x^2-1)^9-raiz[3]1+2 x+x^4

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(x^2+1x^2-1r)^9-raiz[3]1+2x+x^4
O conteúdo que vamos usar é a regra da cadeia, a derivada de quociente e a derivada de potência com expoente fracionário.

Passo 2

Defina
u(x)=x^2+1x^2-1,
g(x)=u(x)^9
Pela regra da cadeia,
g'(x)=9,u(x)^8,u'(x)
Para achar u'(x) usamos a regra do quociente: se u=v/w, então
u'=v'w - v,w'w^2
Aqui v(x)=x^2+1 e w(x)=x^2-1, logo v'=2x e w'=2x.

Passo 3

Calculando u'(x):
u'(x) =2x,(x^2-1)-(x^2+1),2x(x^2-1)^2 =2x(x^2-1-x^2-1)(x^2-1)^2 =-4x(x^2-1)^2
Substituindo em g'(x):
g'(x) =9l(x^2+1x^2-1r)^8cdot-4x(x^2-1)^2 =-36x;(x^2+1)^8(x^2-1)^10

Passo 4

Agora derivamos
h(x)=raiz[3]1+2x+x^4=(1+2x+x^4)^13
Pela regra da cadeia e da potência:
h'(x) =13,(1+2x+x^4)^-23cdot(2+4x^3) =2+4x^33,(1+2x+x^4)^23
Como no f(x) o termo vem com sinal menos, sua contribuição é
-;h'(x) =-2+4x^33,(1+2x+x^4)^23

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos
f'(x) =-36x;(x^2+1)^8(x^2-1)^10 ;-; 2+4x^33,(1+2x+x^4)^23

Resposta

f'(x)=-36x,(x^2+1)^8(x^2-1)^10 ;-; 2+4x^33,(1+2x+x^4)^tfrac23

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