Questão 2-Determine a área da superfície parametrizada por r(u, v)=(4 cos v, 4 sin v, u), com 0 <= u <= 5 e^0 <= v <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície paramétrica
vec r(u,v) = l(4cos v,;4sin v,;ur),
com o domínio
0 <= u <= 5, 0 <= v <= 2pi
Queremos a área dessa superfície. Para isso, usamos a fórmula da área de uma superfície parametrizada:
A = integral duplaD llVert vec ru times vec rv rrVert ,d u,d v,
onde vec ru e vec rv são as derivadas parciais de vec r.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de vec r:
vec ru = partialpartial ul(4cos v,4sin v,ur) = (0,,0,,1),
vec rv = partialpartial vl(4cos v,4sin v,ur) = (-4sin v,,4cos v,,0)

Passo 3

Formamos o produto vetorial vec ru times vec rv e sua norma:
vec ru times vec rv = i & j & k 0 & 0 & 1 -4sin v & 4cos v & 0 = (-4cos v,,-4sin v,,0),
llVert vec ru times vec rv rrVert = raiz(-4cos v)^2 + (-4sin v)^2 + 0^2 = raiz16(cos^2 v + sin^2 v) = 4

Passo 4

A área é a integral dupla de 4 sobre o retângulo [0,5]times[0,2pi]:
A = integralv=0^2pi!integralu=0^5 4 ,d u,d v = 4 (integralu=0^5d u)!(integralv=0^2pid v) = 4 cdot 5 cdot 2pi = 40pi

Resposta

A área da superfície é 40pi.

Exercícios relacionados