Calcule a derivada:
g(x)=\left(1+4 x^{3}\right)\left(3+x-x^{2}\right)^{8}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=\bigl(1+4x^{3}\bigr)\bigl(3 + x - x^{2}\bigr)^{8}.
O conteúdo principal aqui é a regra do produto e, dentro dela, a regra da cadeia para diferenciar uma potência de função composta.

Passo 2

Começamos calculando a derivada do primeiro fator u(x)=1+4x^{3}.
Pela regra da potência simples,
u'(x)=\frac{d}{dx}(1)+\frac{d}{dx}(4x^{3})=0+4\cdot3x^{2}=12x^{2}.

Passo 3

Agora diferenciamos o segundo fator v(x)=\bigl(3+x-x^{2}\bigr)^{8} usando a regra da cadeia.
Seja h(t)=t^{8} e t(x)=3+x-x^{2}. Então
h'(t)=8t^{7}, \quad t'(x)=\frac{d}{dx}(3+x-x^{2})=1-2x.
Logo,
v'(x)=h'\bigl(t(x)\bigr)\,t'(x) =8\bigl(3+x-x^{2}\bigr)^{7}\,(1-2x).

Passo 4

Aplicando agora a regra do produto
g'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x),
substituímos u,u',v,v':
g'(x) =12x^{2}\,\bigl(3+x-x^{2}\bigr)^{8} +(1+4x^{3})\;8\bigl(3+x-x^{2}\bigr)^{7}(1-2x).

Passo 5

Observe que ambos os termos têm fator comum \bigl(3+x-x^{2}\bigr)^{7}. Fatorando:
g'(x) =\bigl(3+x-x^{2}\bigr)^{7}\Bigl[12x^{2}\,(3+x-x^{2}) +8(1+4x^{3})(1-2x)\Bigr].

Passo 6

Para ficar mais compacto, podemos desenvolver o colchete:
12x^{2}(3+x-x^{2})=36x^{2}+12x^{3}-12x^{4},
8(1+4x^{3})(1-2x)=8-16x+32x^{3}-64x^{4}.
Somando esses polinômios resulta
8 -16x +36x^{2} +44x^{3} -76x^{4}.
Portanto
g'(x) =\bigl(3+x-x^{2}\bigr)^{7}\bigl(8 -16x +36x^{2} +44x^{3} -76x^{4}\bigr).

Resposta

g'(x) =\bigl(3+x-x^{2}\bigr)^{7}\bigl(8 -16x +36x^{2} +44x^{3} -76x^{4}\bigr).

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