Calcule a derivada:
G(y)=\left(\frac{y^{2}}{y+1}\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
G(y)=\Bigl(\frac{y^{2}}{y+1}\Bigr)^{5}.
Aqui vamos usar duas ferramentas principais: o regra da cadeia para lidar com a potência 5 e a regra do quociente para derivar o interior \displaystyle f(y)=\frac{y^{2}}{y+1}.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, se G(y)=\bigl(f(y)\bigr)^{5} então
G'(y)=5\bigl(f(y)\bigr)^{4}\,f'(y).
Ou seja,
G'(y)=5\Bigl(\frac{y^{2}}{y+1}\Bigr)^{4}\;f'(y).

Passo 3

Agora calculamos f'(y) usando a regra do quociente
f(y)=\frac{y^{2}}{y+1} \;\Longrightarrow\; f'(y) =\frac{(y+1)\,\frac{d}{dy}(y^{2})-y^{2}\,\frac{d}{dy}(y+1)}{(y+1)^{2}}.
Como \frac{d}{dy}(y^{2})=2y e \frac{d}{dy}(y+1)=1, segue
f'(y) =\frac{(y+1)\cdot2y - y^{2}\cdot1}{(y+1)^{2}} =\frac{2y^{2}+2y - y^{2}}{(y+1)^{2}} =\frac{y^{2}+2y}{(y+1)^{2}} =\frac{y(y+2)}{(y+1)^{2}}.

Passo 4

Substituindo f'(y) em G'(y), obtemos
G'(y) =5\Bigl(\frac{y^{2}}{y+1}\Bigr)^{4}\;\frac{y(y+2)}{(y+1)^{2}}.
Agrupando as potências de (y+1) e de y,
\Bigl(\frac{y^{2}}{y+1}\Bigr)^{4} =\frac{y^{8}}{(y+1)^{4}},
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G'(y) =5\,\frac{y^{8}}{(y+1)^{4}}\;\frac{y(y+2)}{(y+1)^{2}} =5\,\frac{y^{9}(y+2)}{(y+1)^{6}}.

Resposta

G'(y)=5\,\frac{y^{9}(y+2)}{(y+1)^{6}}.

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