Calcule a derivada indicada.
Passo 1
O enunciado pede a derivada em relação de
da função dada. As informações são:
- A função cuja derivada precisamos calcular é
. - A variável independente é
.
A tarefa é calcular.
Passo 2
Vamos usar a regra do produto porque a função é produto de duas funções de
. A regra do produto diz o seguinte:
Aqui
significa a derivada de
em relação a
, e
significa a derivada de
em relação a
. A regra é fácil de lembrar: derivar a primeira e multiplicar pela segunda, mais a primeira multiplicada pela derivada da segunda.
Passo 3
Escolhemos as funções
e
:
Agora precisamos das derivadas individuais
e
.
Derivada de
:
Explicando: a derivada da função cosseno é o negativo do seno.
Derivada de
. Use a definição
e a regra do quociente. Se
então
Como
, isso fica
Portanto
Passo 4
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo
,
,
e
, obtemos
Passo 5
Simplificamos a expressão passo a passo. Primeiro escrevendo claramente os sinais:
Podemos também reescrever em termos de
e
. Lembrando
e
, temos
e
Somando os dois termos:
Todas essas formas são equivalentes; pode escolher a que achar mais clara.