Calcule a derivada indicada.
D_{x}(\cos x \operatorname{cotg} x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada em relação de x da função dada. As informações são:
  • A função cuja derivada precisamos calcular é \cos x\;\operatorname{cotg} x.
  • A variável independente é x.
    A tarefa é calcular \,D_{x}\big(\cos x\;\operatorname{cotg} x\big).

Passo 2

Vamos usar a regra do produto porque a função é produto de duas funções de x. A regra do produto diz o seguinte:
\text{Se }\,u(x)\,\text{ e }\,v(x)\,\text{são funções diferenciáveis, então }D\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).ãçõáã
Aqui u'(x) significa a derivada de u em relação a x, e v'(x) significa a derivada de v em relação a x. A regra é fácil de lembrar: derivar a primeira e multiplicar pela segunda, mais a primeira multiplicada pela derivada da segunda.

Passo 3

Escolhemos as funções u e v:
u(x)=\cos x,\qquad v(x)=\operatorname{cotg} x.
Agora precisamos das derivadas individuais u'(x) e v'(x).
Derivada de \cos x:
u'(x)=D(\cos x)=-\sin x.
Explicando: a derivada da função cosseno é o negativo do seno.
Derivada de \operatorname{cotg} x. Use a definição \operatorname{cotg} x=\dfrac{\cos x}{\sin x} e a regra do quociente. Se v(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x} então
v'(x)=\frac{(\cos x)'\cdot\sin x-(\sin x)'\cdot\cos x}{\sin^2 x} =\frac{(-\sin x)\sin x-(\cos x)\cos x}{\sin^2 x} =\frac{-\sin^2 x-\cos^2 x}{\sin^2 x}.
Como \sin^2 x+\cos^2 x=1, isso fica
v'(x)=-\frac{1}{\sin^2 x}=-\csc^2 x.
Portanto
v'(x)=-\csc^2 x.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto:
D\big(\cos x\;\operatorname{cotg} x\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u'(x)=-\sin x, v(x)=\operatorname{cotg} x, u(x)=\cos x e v'(x)=-\csc^2 x, obtemos
D\big(\cos x\;\operatorname{cotg} x\big)=(-\sin x)\operatorname{cotg} x+\cos x\cdot(-\csc^2 x).

Passo 5

Simplificamos a expressão passo a passo. Primeiro escrevendo claramente os sinais:
D\big(\cos x\;\operatorname{cotg} x\big)=-\sin x\;\operatorname{cotg} x-\cos x\;\csc^2 x.
Podemos também reescrever em termos de \sin x e \cos x. Lembrando \operatorname{cotg} x=\dfrac{\cos x}{\sin x} e \csc^2 x=\dfrac{1}{\sin^2 x}, temos
-\sin x\;\operatorname{cotg} x=-\sin x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}=-\cos x,
e
-\cos x\;\csc^2 x=-\cos x\cdot\frac{1}{\sin^2 x}=-\frac{\cos x}{\sin^2 x}.
Somando os dois termos:
D\big(\cos x\;\operatorname{cotg} x\big)=-\cos x-\frac{\cos x}{\sin^2 x} =-\cos x\left(1+\frac{1}{\sin^2 x}\right) =-\frac{\cos x\big(1+\sin^2 x\big)}{\sin^2 x}.
Todas essas formas são equivalentes; pode escolher a que achar mais clara.

Resposta

-\sin x\;\operatorname{cotg} x-\cos x\;\csc^2 x

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