Calcule a derivada indicada.
\frac{d}{d t}\left(\sqrt{\frac{\operatorname{sen} t+1}{1-\operatorname{sen} t}}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede-se calcular a derivada
\frac{d}{dt}\left(\sqrt{\frac{\operatorname{sen}t+1}{1-\operatorname{sen}t}}\right).
  • Informação dada: a função a derivar é a função de t definida por \displaystyle f(t)=\sqrt{\frac{\operatorname{sen}t+1}{1-\operatorname{sen}t}}.

Passo 2

Transformar a expressão de dentro da raiz para uma forma trigonométrica mais simples (isso facilita mucho a derivação). Vamos usar a substituição u=\dfrac{t}{2} e a identidade
\sin t = 2\sin u\cos u.
Calculemos 1+\sin t e 1-\sin t em termos de \sin u e \cos u:
1+\sin t = 1+2\sin u\cos u = \sin^2 u+\cos^2 u+2\sin u\cos u = (\sin u+\cos u)^2,
1-\sin t = 1-2\sin u\cos u = \sin^2 u+\cos^2 u-2\sin u\cos u = (\cos u-\sin u)^2.
Portanto a razão dentro da raiz é
\frac{1+\sin t}{1-\sin t}=\frac{(\sin u+\cos u)^2}{(\cos u-\sin u)^2}=\left(\frac{\sin u+\cos u}{\cos u-\sin u}\right)^2.
Tomando a raiz quadrada (escolhemos o sinal que torne contínua a função no seu domínio),
\sqrt{\frac{1+\sin t}{1-\sin t}}=\frac{\sin u+\cos u}{\cos u-\sin u}.
Agora use a identidade da soma de ângulos para tangente:
\frac{\sin u+\cos u}{\cos u-\sin u}=\tan\!\left(u+\frac{\pi}{4}\right).
Lembrando u=\dfrac{t}{2}, obtemos a forma simples
f(t)=\tan\!\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{4}\right).

Passo 3

Derivar f(t)=\tan\!\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{4}\right) aplicando a regra da cadeia e a derivada da tangente.
  • Regra da cadeia (lembrando): se g(t)=\tan(h(t)), então g'(t)=\operatorname{sec}^2(h(t))\cdot h'(t).
  • Derivada de \tan x: \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x.
    No nosso caso h(t)=\dfrac{t}{2}+\dfrac{\pi}{4}, logo h'(t)=\dfrac{1}{2}. Portanto
f'(t)=\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{4}\right).

Passo 4

Expressar \operatorname{sec}^2\!\left(\dfrac{t}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right) em função de \sin t para voltar à forma inicial da questão e simplificar. Use \operatorname{sec}^2 x=1+\tan^2 x e lembre que
\tan\!\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{\frac{1+\sin t}{1-\sin t}}.
Assim
\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=1+\tan^2\!\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{4}\right) =1+\frac{1+\sin t}{1-\sin t}.
Fazendo a soma com denominador comum:
1+\frac{1+\sin t}{1-\sin t}=\frac{1-\sin t+1+\sin t}{1-\sin t}=\frac{2}{1-\sin t}.
Voltando para f'(t),
f'(t)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{1-\sin t}=\frac{1}{1-\sin t}.

Passo 5

Observações sobre domínio e validade:
  • A derivada encontrada vale nos pontos onde a função original é diferenciável, em particular onde 1-\sin t\neq 0 (pois aparece no denominador) — isto é, t\neq \dfrac{\pi}{2}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}.
  • Para outros valores (por exemplo t tal que \sin t=-1) a expressão faz sentido e a fórmula acima continua válida desde que não se tenha divisão por zero.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{1-\sin t}

Exercícios relacionados