Calcule a derivada indicada.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede-se calcular a derivada
- Informação dada: a função a derivar é a função de
definida por .
Passo 2
Transformar a expressão de dentro da raiz para uma forma trigonométrica mais simples (isso facilita mucho a derivação). Vamos usar a substituição
e a identidade
Calculemos
e
em termos de
e
:
Portanto a razão dentro da raiz é
Tomando a raiz quadrada (escolhemos o sinal que torne contínua a função no seu domínio),
Agora use a identidade da soma de ângulos para tangente:
Lembrando
, obtemos a forma simples
Passo 3
Derivar
aplicando a regra da cadeia e a derivada da tangente.
- Regra da cadeia (lembrando): se
, então . - Derivada de
: .
No nosso caso, logo . Portanto
Passo 4
Expressar
em função de
para voltar à forma inicial da questão e simplificar. Use
e lembre que
Assim
Fazendo a soma com denominador comum:
Voltando para
,
Passo 5
Observações sobre domínio e validade:
- A derivada encontrada vale nos pontos onde a função original é diferenciável, em particular onde
(pois aparece no denominador) — isto é, , . - Para outros valores (por exemplo
tal que ) a expressão faz sentido e a fórmula acima continua válida desde que não se tenha divisão por zero.