6 Determine a energia armazenada num capacitor de placas paralelas a partir da energia volumétrica (densidade de energia por unidade de volume) em função do campo elétrico.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações que vamos usar (sem resolver ainda).
  • O enunciado pede: determinar a energia armazenada num capacitor de placas paralelas a partir da energia volumétrica (densidade de energia por unidade de volume) em função do campo elétrico.
  • Informação que vamos usar (isto é padrão para essa questão): a densidade de energia elétrica u em um meio linear com permissividade \varepsilon é dada por
u(E)=\tfrac{1}{2}\varepsilon E^{2}.
  • Geometria do capacitor: duas placas paralelas com área A cada e separação (distância entre placas) d. Pode haver vácuo ou um dielétrico entre as placas; a permissividade do meio é \varepsilon (no vácuo \varepsilon=\varepsilon_{0}).
  • Quantidades relacionadas que provavelmente aparecerão: carga das placas Q, diferença de potencial entre as placas V e capacitância C.
  • O que precisamos obter ao final: uma expressão para a energia total U armazenada no capacitor, em termos de A, d, \varepsilon, e/ou em formas usuais \tfrac{1}{2}CV^{2}, \tfrac{Q^{2}}{2C}, \tfrac{1}{2}QV.

Passo 2

Entender o que significa densidade de energia e como obter a energia total.
  • A densidade de energia u(E) tem unidades de energia por volume (por exemplo, \text{J/m}^3). Para obter a energia total U armazenada num volume V_{\text{esp}}, integramos u sobre esse volume:
U=\int_{V_{\text{esp}}} u(E)\, \mathrm{d}V.
  • No caso do capacitor de placas paralelas, o espaço onde existe campo é principalmente o volume entre as placas; fora é desprezível (idealmente). O volume entre as placas é V_{\text{esp}}=A\cdot d.
  • Portanto vamos calcular U integrando u(E) no volume entre as placas. Se E for constante nesse volume, a integral simplifica para U=u\cdot A d.

Passo 3

Determinar o campo elétrico E entre as placas (valor e porque é uniforme).
  • Para um capacitor de placas paralelas ideal, o campo elétrico entre as placas é aproximadamente uniforme (desprezando efeitos de borda) e perpendicular às placas.
  • A relação entre a densidade superficial de carga \sigma e o campo é \;E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon}\; (para região entre duas placas com cargas opostas, eixo perpendicular).
  • A carga total numa placa é Q, logo a densidade superficial é \sigma=\dfrac{Q}{A}.
  • Substituindo:
E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon}=\dfrac{Q}{\varepsilon A}.
  • Outra relação útil é a diferença de potencial entre as placas: V=E\,d. Assim também E=\dfrac{V}{d}. Ambas as expressões são equivalentes quando relacionadas com Q e C.

Passo 4

Calcular a energia total U integrando a densidade de energia (caso E uniforme).
  • Como u=\tfrac{1}{2}\varepsilon E^{2} e E é (aproximadamente) constante no volume entre as placas, temos:
U=\int_{V_{\text{esp}}} u\,\mathrm{d}V = u\cdot A d = \tfrac{1}{2}\varepsilon E^{2}\cdot A d.
  • Esta é já uma expressão válida em termos de E, A, d e \varepsilon.

Passo 5

Expressar U em termos da diferença de potencial V.
  • Usando E=\dfrac{V}{d}, substituímos na expressão do passo anterior:
U=\tfrac{1}{2}\varepsilon \left(\dfrac{V}{d}\right)^{2} A d.
  • Simplificando,
U=\tfrac{1}{2}\varepsilon \dfrac{A}{d}\, V^{2}.
  • Agora note que a capacitância de um capacitor de placas paralelas é
C=\dfrac{\varepsilon A}{d}.
  • Substituindo C na expressão de U, obtemos a forma clássica
U=\tfrac{1}{2} C V^{2}.
  • Explicação didática rápida: a energia depende do quadrado da tensão porque a densidade de energia depende do quadrado do campo, e o campo é proporcional à tensão.

Passo 6

Obter as formas alternativas em termos de Q e verificar consistência com trabalho para carregar o capacitor.
  • Como Q=C V, podemos escrever V=\dfrac{Q}{C}. Substituindo em U=\tfrac{1}{2} C V^{2}
U=\tfrac{1}{2} C \left(\dfrac{Q}{C}\right)^{2}=\dfrac{Q^{2}}{2C}.
  • Outra forma muito usada é
U=\tfrac{1}{2} Q V,
que vem diretamente de combinar U=\tfrac{1}{2}CV^{2} com Q=CV (ou do cálculo do trabalho para carregar as placas: W=\int_{0}^{Q} \dfrac{q}{C}\,\mathrm{d}q = Q^{2}/(2C)).
  • Assim temos as três formas equivalentes:
U=\tfrac{1}{2} C V^{2}=\dfrac{Q^{2}}{2C}=\tfrac{1}{2} Q V.

Passo 7

Comentário prático e pequeno exemplo numérico (para fixar).
  • Exemplo: suponha \varepsilon=\varepsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, A=0{,}01\\ \mathrm{m^{2}} (10 cm × 10 cm) e d=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m} (1 mm), com V=100\\ \mathrm{V}.
  • Primeiro C=\dfrac{\varepsilon_{0}A}{d}=\dfrac{8{,}85\times10^{-12}\cdot0{,}01}{1{,}0\times10^{-3}}=8{,}85\times10^{-13}\,\mathrm{F}.
  • Então U=\tfrac{1}{2} C V^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 8{,}85\times10^{-13}\cdot(100)^{2}=4{,}425\times10^{-9}\\ \mathrm{J} (alguns nanojoules).
  • Comentário: esse resultado mostra como capacitores planos com separações pequenas e áreas moderadas ainda armazenam pouca energia comparado a baterias—por isso em muitas aplicações usa-se dielétrico com permissividade maior ou geometria diferente.

Passo 8

Resumo didático final sobre por que o método funciona (para você lembrar na prova).
  • A ideia central: a energia elétrica está distribuída no campo; a densidade u=\tfrac{1}{2}\varepsilon E^{2} indica quanta energia há por unidade de volume. Somando (integrando) essa densidade sobre o volume onde há campo obtém-se a energia total.
  • No capacitor plano o campo é uniforme entre as placas, por isso a integral vira multiplicação simples u\cdot A d. Substituir E=V/d e reconhecer C=\varepsilon A/d leva imediatamente às formas clássicas da energia do capacitor.
  • Dica de prova: lembre-se das três formas equivalentes de escrever U e que todas derivam da mesma física; escolha a forma que simplifica os dados do enunciado.

Resposta

U=\tfrac{1}{2}\varepsilon E^{2} A d=\tfrac{1}{2}\varepsilon \dfrac{A}{d}V^{2}=\tfrac{1}{2}C V^{2}=\dfrac{Q^{2}}{2C}=\tfrac{1}{2}Q V.

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