6 Determine a energia armazenada num capacitor de placas paralelas a partir da energia volumétrica (densidade de energia por unidade de volume) em função do campo elétrico.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações que vamos usar (sem resolver ainda).
- O enunciado pede: determinar a energia armazenada num capacitor de placas paralelas a partir da energia volumétrica (densidade de energia por unidade de volume) em função do campo elétrico.
- Informação que vamos usar (isto é padrão para essa questão): a densidade de energia elétrica
em um meio linear com permissividade é dada por
- Geometria do capacitor: duas placas paralelas com área
cada e separação (distância entre placas) . Pode haver vácuo ou um dielétrico entre as placas; a permissividade do meio é (no vácuo ). - Quantidades relacionadas que provavelmente aparecerão: carga das placas
, diferença de potencial entre as placas e capacitância . - O que precisamos obter ao final: uma expressão para a energia total
armazenada no capacitor, em termos de , , , e/ou em formas usuais , , .
Passo 2
Entender o que significa densidade de energia e como obter a energia total.
- A densidade de energia
tem unidades de energia por volume (por exemplo, ). Para obter a energia total armazenada num volume , integramos sobre esse volume:
- No caso do capacitor de placas paralelas, o espaço onde existe campo é principalmente o volume entre as placas; fora é desprezível (idealmente). O volume entre as placas é
. - Portanto vamos calcular
integrando no volume entre as placas. Se for constante nesse volume, a integral simplifica para .
Passo 3
Determinar o campo elétrico
entre as placas (valor e porque é uniforme).
- Para um capacitor de placas paralelas ideal, o campo elétrico entre as placas é aproximadamente uniforme (desprezando efeitos de borda) e perpendicular às placas.
- A relação entre a densidade superficial de carga
e o campo é (para região entre duas placas com cargas opostas, eixo perpendicular). - A carga total numa placa é
, logo a densidade superficial é . - Substituindo:
- Outra relação útil é a diferença de potencial entre as placas:
. Assim também . Ambas as expressões são equivalentes quando relacionadas com e .
Passo 4
Calcular a energia total
integrando a densidade de energia (caso
uniforme).
- Como
e é (aproximadamente) constante no volume entre as placas, temos:
- Esta é já uma expressão válida em termos de
, , e .
Passo 5
Expressar
em termos da diferença de potencial
.
- Usando
, substituímos na expressão do passo anterior:
- Simplificando,
- Agora note que a capacitância de um capacitor de placas paralelas é
- Substituindo
na expressão de , obtemos a forma clássica
- Explicação didática rápida: a energia depende do quadrado da tensão porque a densidade de energia depende do quadrado do campo, e o campo é proporcional à tensão.
Passo 6
Obter as formas alternativas em termos de
e verificar consistência com trabalho para carregar o capacitor.
- Como
, podemos escrever . Substituindo em dá
- Outra forma muito usada é
que vem diretamente de combinar
com
(ou do cálculo do trabalho para carregar as placas:
).
- Assim temos as três formas equivalentes:
Passo 7
Comentário prático e pequeno exemplo numérico (para fixar).
- Exemplo: suponha
, (10 cm × 10 cm) e (1 mm), com . - Primeiro
. - Então
(alguns nanojoules). - Comentário: esse resultado mostra como capacitores planos com separações pequenas e áreas moderadas ainda armazenam pouca energia comparado a baterias—por isso em muitas aplicações usa-se dielétrico com permissividade maior ou geometria diferente.
Passo 8
Resumo didático final sobre por que o método funciona (para você lembrar na prova).
- A ideia central: a energia elétrica está distribuída no campo; a densidade
indica quanta energia há por unidade de volume. Somando (integrando) essa densidade sobre o volume onde há campo obtém-se a energia total. - No capacitor plano o campo é uniforme entre as placas, por isso a integral vira multiplicação simples
. Substituir e reconhecer leva imediatamente às formas clássicas da energia do capacitor. - Dica de prova: lembre-se das três formas equivalentes de escrever
e que todas derivam da mesma física; escolha a forma que simplifica os dados do enunciado.