Calcule a derivada indicada.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- Pede-se calcular a derivada
- A função dada é
. - Observação importante sobre domínio: a expressão dentro da raiz precisa ser não negativa para que a função seja (real) — isto é,
. Também devemos evitar pontos onde .
Passo 2
Simplificar a expressão interna usando identidades trigonométricas (isso facilita muito a derivação).
Usar as identidades de meia-ângulo:
Substituindo,
Portanto a função fica
(Aqui a condição de existência real é
, ou seja
.)
Passo 3
Preparar a diferenciação aplicando a regra da cadeia.
Escreve-se
A regra da cadeia diz que, para
com
,
Também é útil lembrar:
- derivada de
é ; - derivada de
em relação a é ; - derivada de
em relação a é (pela regra da cadeia).
Passo 4
Calcular
.
Como
, obtemos
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para obter
.
Substituindo
e
:
Passo 6
Comentários finais sobre domínio e equivalências.
- A expressão final só faz sentido (no contexto real) quando
e . Em pontos onde a derivada tende a infinito (ou não existe) dependendo do comportamento da raiz. - Alternativamente, uma forma não tão compacta, diretamente a partir da definição original, é
que é algebraicamente equivalente (quando as expressões estão definidas) à forma com meia-ângulo acima.