Calcule a derivada indicada.
\frac{d}{d x}\left(\sqrt{\frac{\cos x-1}{\operatorname{sen} x}}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pede-se calcular a derivada
\frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{\cos x-1}{\operatorname{sen} x}}\right).
  • A função dada é f(x)=\sqrt{\dfrac{\cos x-1}{\operatorname{sen} x}}.
  • Observação importante sobre domínio: a expressão dentro da raiz precisa ser não negativa para que a função seja (real) — isto é, \dfrac{\cos x-1}{\operatorname{sen} x}\ge0. Também devemos evitar pontos onde \operatorname{sen} x=0.

Passo 2

Simplificar a expressão interna usando identidades trigonométricas (isso facilita muito a derivação).
Usar as identidades de meia-ângulo:
\cos x - 1 = -2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right), \qquad \operatorname{sen} x = 2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).
Substituindo,
\frac{\cos x-1}{\operatorname{sen} x} = \frac{-2\sin^2\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}{2\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)} = -\frac{\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}{\cos\!\left(\tfrac{x}{2}\right)} = -\tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right).
Portanto a função fica
f(x)=\sqrt{-\tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}.
(Aqui a condição de existência real é -\tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\ge0, ou seja \tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\le0.)

Passo 3

Preparar a diferenciação aplicando a regra da cadeia.
Escreve-se
f(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{1/2},\qquad u(x)=-\tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right).
A regra da cadeia diz que, para f(x)=g(u(x)) com g(t)=t^{1/2},
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
Também é útil lembrar:
  • derivada de g(t)=t^{1/2} é g'(t)=\tfrac{1}{2}t^{-1/2};
  • derivada de \tan v em relação a v é \operatorname{sec}^2 v;
  • derivada de \tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right) em relação a x é \tfrac{1}{2}\operatorname{sec}^2\!\left(\tfrac{x}{2}\right) (pela regra da cadeia).

Passo 4

Calcular u'(x).
u(x)=-\tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right) \quad\Rightarrow\quad u'(x)=-\left(\tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\right)'.
Como \left(\tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right)\right)'=\tfrac{1}{2}\operatorname{sec}^2\!\left(\tfrac{x}{2}\right), obtemos
u'(x)=-\frac{1}{2}\operatorname{sec}^2\!\left(\tfrac{x}{2}\right).

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para obter f'(x).
f'(x)=\frac{1}{2}\bigl(u(x)\bigr)^{-1/2}\cdot u'(x) = \frac{1}{2}\frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}.
Substituindo u(x) e u'(x):
f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{-\tfrac{1}{2}\operatorname{sec}^2\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}{\sqrt{-\tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}} = -\frac{1}{4}\,\frac{\operatorname{sec}^2\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}{\sqrt{-\tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}}.

Passo 6

Comentários finais sobre domínio e equivalências.
  • A expressão final só faz sentido (no contexto real) quando -\tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right)>0 e \operatorname{sen} x\neq0. Em pontos onde -\tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right)=0 a derivada tende a infinito (ou não existe) dependendo do comportamento da raiz.
  • Alternativamente, uma forma não tão compacta, diretamente a partir da definição original, é
f'(x)=\frac{1}{2}\,\frac{\dfrac{\cos x-1}{\operatorname{sen}^2 x}}{\sqrt{\dfrac{\cos x-1}{\operatorname{sen} x}}}
que é algebraicamente equivalente (quando as expressões estão definidas) à forma com meia-ângulo acima.

Resposta

-\frac{1}{4}\,\frac{\operatorname{sec}^2\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}{\sqrt{-\tan\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}}

Exercícios relacionados