Calcule a integral dupla \iint_{R} y \operatorname{sen}(x y) d A, onde
R=[1,2] \times[0, \pi].

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pedem para calcular a integral dupla \iint_{R} y \operatorname{sen}(x y)\,dA.
  • A região R é o retângulo [1,2]\times[0,\pi]; ou seja:
    • 1 \le x \le 2,
    • 0 \le y \le \pi.
A pergunta é única: encontrar o valor numérico da integral dupla sobre esse retângulo.

Passo 2

Transformar a integral dupla numa integral iterada (regra de Fubini). Como a função (x,y)\mapsto y\operatorname{sen}(x y) é contínua em R, vale que a integral dupla é igual a uma integral iterada. Podemos escolher integrar primeiro em y e depois em x. Assim:
\iint_{R} y \operatorname{sen}(x y)\,dA = \int_{x=1}^{2}\left(\int_{y=0}^{\pi} y \operatorname{sen}(x y)\,dy\right)dx.

Passo 3

Calcular a integral interna \displaystyle \int_{0}^{\pi} y \operatorname{sen}(x y)\,dy. Vou fazer uma substituição para simplificar:
  • Defina u = x y. Então du = x\,dy ou dy = \dfrac{du}{x}.
  • Quando y=0 tem-se u=0. Quando y=\pi tem-se u = x\pi.
  • Além disso y = \dfrac{u}{x}.
Substituindo na integral interna:
\int_{0}^{\pi} y \operatorname{sen}(x y)\,dy = \int_{u=0}^{x\pi} \left(\frac{u}{x}\right)\operatorname{sen}(u)\cdot\frac{du}{x} = \frac{1}{x^{2}}\int_{0}^{x\pi} u\,\operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int u\,\operatorname{sen}(u)\,du por partes. A fórmula de integração por partes é \displaystyle \int a\,db = a b - \int b\,da. Escolho:
  • a = u (logo da = du),
  • db = \operatorname{sen}(u)\,du (logo b = -\cos(u)).
Portanto:
\int u\,\operatorname{sen}(u)\,du = -u\cos(u) + \int \cos(u)\,du = -u\cos(u) + \operatorname{sen}(u) + C.
Avaliando de 0 a x\pi:
\int_{0}^{x\pi} u\,\operatorname{sen}(u)\,du = \bigl[-u\cos(u)+\operatorname{sen}(u)\bigr]_{0}^{x\pi} = -x\pi\cos(x\pi)+\operatorname{sen}(x\pi) - \bigl(0+0\bigr).
Logo a integral interna vale
\int_{0}^{\pi} y \operatorname{sen}(x y)\,dy = \frac{1}{x^{2}}\bigl(-x\pi\cos(x\pi)+\operatorname{sen}(x\pi)\bigr).

Passo 5

Agora substituímos isso na integral em x:
\iint_{R} y \operatorname{sen}(x y)\,dA = \int_{1}^{2} \frac{-x\pi\cos(x\pi)+\operatorname{sen}(x\pi)}{x^{2}}\,dx = \int_{1}^{2}\left(-\frac{\pi\cos(\pi x)}{x}+\frac{\operatorname{sen}(\pi x)}{x^{2}}\right)dx.
Repare que isso se parece com a derivada de \dfrac{\operatorname{sen}(\pi x)}{x}. Vamos calcular essa derivada explicitamente (produto/quotient rule):
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\operatorname{sen}(\pi x)}{x}\right) = \frac{\pi x\cos(\pi x)-\operatorname{sen}(\pi x)}{x^{2}} = \frac{\pi\cos(\pi x)}{x}-\frac{\operatorname{sen}(\pi x)}{x^{2}}.
Comparando, a função dentro da integral é exatamente o negativo desta derivada:
-\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\operatorname{sen}(\pi x)}{x}\right) = -\left(\frac{\pi\cos(\pi x)}{x}-\frac{\operatorname{sen}(\pi x)}{x^{2}}\right) = -\frac{\pi\cos(\pi x)}{x}+\frac{\operatorname{sen}(\pi x)}{x^{2}}.
Portanto a integral em x é uma integral de uma derivada, e podemos avaliá‑la por teorema fundamental do cálculo:
\int_{1}^{2}\left(-\frac{\pi\cos(\pi x)}{x}+\frac{\operatorname{sen}(\pi x)}{x^{2}}\right)dx = -\left[\frac{\operatorname{sen}(\pi x)}{x}\right]_{1}^{2}.

Passo 6

Avaliar a expressão:
-\left[\frac{\operatorname{sen}(\pi x)}{x}\right]_{1}^{2} = -\left(\frac{\operatorname{sen}(2\pi)}{2}-\frac{\operatorname{sen}(\pi)}{1}\right).
Sabendo que \operatorname{sen}(k\pi)=0 para qualquer inteiro k, temos \operatorname{sen}(2\pi)=0 e \operatorname{sen}(\pi)=0. Assim a expressão fica
-\left(\frac{0}{2}-0\right)=0.

Resposta

0

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