Calcule a integral dupla
, onde
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pedem para calcular a integral dupla
. - A região
é o retângulo ; ou seja: -
, -
.
-
A pergunta é única: encontrar o valor numérico da integral dupla sobre esse retângulo.
Passo 2
Transformar a integral dupla numa integral iterada (regra de Fubini). Como a função
é contínua em
, vale que a integral dupla é igual a uma integral iterada. Podemos escolher integrar primeiro em
e depois em
. Assim:
Passo 3
Calcular a integral interna
. Vou fazer uma substituição para simplificar:
- Defina
. Então ou . - Quando
tem-se . Quando tem-se . - Além disso
.
Substituindo na integral interna:
Passo 4
Calcular
por partes. A fórmula de integração por partes é
. Escolho:
-
(logo ), -
(logo ).
Portanto:
Avaliando de
a
:
Logo a integral interna vale
Passo 5
Agora substituímos isso na integral em
:
Repare que isso se parece com a derivada de
. Vamos calcular essa derivada explicitamente (produto/quotient rule):
Comparando, a função dentro da integral é exatamente o negativo desta derivada:
Portanto a integral em
é uma integral de uma derivada, e podemos avaliá‑la por teorema fundamental do cálculo:
Passo 6
Avaliar a expressão:
Sabendo que
para qualquer inteiro
, temos
e
. Assim a expressão fica
Resposta
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