Calcule a derivada mostrada a seguir no ponto x=1.
dd x 1+log 2(x)1-log 2(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função racional
f(x)=1+log2(x)1-log2(x)
no ponto x=1. Vamos usar o conteúdo de derivada de razão de funções (regra do quociente) e a derivada de log2(x), que é 1/(xln2).

Passo 2

Chamando
u(x)=1+log2(x), v(x)=1-log2(x),
aplicamos a regra do quociente:
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2
Sabendo que
u'(x)=1xln2, v'(x)=-1xln2,
substituímos e obtemos:
f'(x)=1xln2(1-log2(x))-(1+log2(x))l(-1xln2r)(1-log2(x))^2

Passo 3

No numerador podemos fatorar 1/(xln2):
1xln2l[(1-log2(x))+(1+log2(x))r] =1xln2cdot2 =2xln2
Logo,
f'(x)=2xln2,(1-log2(x))^2

Passo 4

Para achar o valor em x=1, note que log2(1)=0. Assim:
f'(1)=21cdotln2,(1-0)^2=2ln2

Resposta

dfrac2ln2

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