Sejam f(x) e g(y) duas funções contínuas nos intervalos [a, b] e [c, d], respectivamente. Mostre que:
integral duplaD f(x) g(y) d x d y=[integrala^b f(x) d x][integralc^d g(y) d y]
onde D é o retângulo: D=(x, y) in R^2, 0 <= x <= pi / 2 e 0 <= y <= 1 / 2. Calcule a integral:
integral duplaD sen^2(x)1+4 y^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um retângulo D = $ [0,\pi/2]\times[0,1/2] $, se [0,pi/2]times[0,1/2] e f(x) são contínuas então g(y), e depois calcular integral duplaD f(x)g(y),dx,dy=l(integral0^pi/2f(x),dxr),l(integral0^1/2g(y),dyr).

Passo 2

Para mostrar a fatoração usamos o Teorema de Fubini e a definição de soma de Riemann. Se dividirmos D em retângulos De, a soma de Riemann é
sumi,jf(xi)g(yj),De
No limite de refinamento das partições isso vira
integral duplaD f(x)g(y),dx,dy =l(integral0^pi/2f(x),dxr)l(integral0^1/2g(y),dyr)

Passo 3

Agora identificamos f(x)=sin^2(x) e g(y)=tfrac11+4y^2. Então
integral duplaDsin^2(x)1+4y^2,dx,dy =l(integral0^pi/2sin^2(x),dxr)l(integral0^1/2dy1+4y^2r)

Passo 4

Para calcular integral0^pi/2sin^2(x),dx usamos a identidade sin^2 x=tfrac1-cos(2x)2. Assim
integral0^pi/2sin^2(x),dx =integral0^pi/21-cos(2x)2,dx =12l[x - sin(2x)2r]0^pi/2 =12l(pi2 -0r) =pi4

Passo 5

Para calcular integral0^1/2dy1+4y^2 fazemos a troca u=2y, du=2,dy, limites: u(0)=0, u(1/2)=1. Então
integral0^1/2dy1+4y^2 =integral0^111+u^2du2 =12[arctan(u)]0^1 =12cdotpi4 =pi8

Passo 6

Multiplicando os resultados obtidos:
integral duplaDsin^2(x)1+4y^2,dx,dy =pi4cdotpi8 =pi^232

Resposta

\displaystyle\frac{\pi^2}{32}

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