Sejam
e
duas funções contínuas nos intervalos
e
, respectivamente. Mostre que:
onde
é o retângulo:
e
. Calcule a integral:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um retângulo D = $ [0,\pi/2]\times[0,1/2] $, se
e
são contínuas então
, e depois calcular
.
Passo 2
Para mostrar a fatoração usamos o Teorema de Fubini e a definição de soma de Riemann. Se dividirmos
em retângulos
, a soma de Riemann é
No limite de refinamento das partições isso vira
Passo 3
Agora identificamos
e
. Então
Passo 4
Para calcular
usamos a identidade
. Assim
Passo 5
Para calcular
fazemos a troca
,
, limites:
,
. Então
Passo 6
Multiplicando os resultados obtidos:
Resposta
\displaystyle\frac{\pi^2}{32}