Usando (i) a definição da derivada como um limite e (ii) a aproximação
, válida quando
, determine o valor da derivada
Passo 1
Primeiro, vamos relembrar o que a questão pede: derivar
usando a definição de derivada como limite e a aproximação
, válida quando
.
Passo 2
Aplicando a definição de derivada como limite, escrevemos:
Notamos que
.
Passo 3
Para simplificar, fatoramos
no numerador:
Aqui o expoente
tende a zero quando
.
Passo 4
Usamos a aproximação
para o termo pequeno
. Assim:
Logo, o quociente de diferença vira:
Passo 5
Por fim, avaliamos o limite:
Resposta
2x e{x2}