Usando (i) a definição da derivada como um limite e (ii) a aproximação e^c=1+c, válida quando c 0, determine o valor da derivada
dd x e^(x^2)

Passo 1

Primeiro, vamos relembrar o que a questão pede: derivar f(x)=e^x^2 usando a definição de derivada como limite e a aproximação e^c=1+c, válida quando cto0.

Passo 2

Aplicando a definição de derivada como limite, escrevemos:
e^(x+h)^2-e^x^2h
Notamos que (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2.

Passo 3

Para simplificar, fatoramos e^x^2 no numerador:
e^x^2+2xh+h^2-e^x^2h = e^x^2,e^2xh+h^2-1h
Aqui o expoente 2xh+h^2 tende a zero quando hto0.

Passo 4

Usamos a aproximação e^capprox1+c para o termo pequeno c=2xh+h^2. Assim:
e^2xh+h^2-1approx2xh+h^2
Logo, o quociente de diferença vira:
e^x^22xh+h^2h = e^x^2(2x + h)

Passo 5

Por fim, avaliamos o limite:
limhto0(2x+h) = 2x

Resposta

2x e{x2}

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