Calcule a derivada de ordem 19 de \operatorname{sen}(2 x+1) no ponto x=4.
Escolha uma opção: \bigcirc a. 524288 \operatorname{sen}(9) \bigcirc b. 262144 \cos (9) \bigcirc c. 262144 \operatorname{sen}(5) \bigcirc d. -524288 \cos (9) \bigcirc e. 524288 \cos (5)
Passo 1
O enunciado dá a função \operatorname{sen}(2x+1) e pede a derivada de ordem 19 dessa função no ponto x=4. Informações importantes que vamos usar:
Função: \operatorname{sen}(2x+1).
Ordem da derivada: n=19.
Ponto onde avaliar: x_{0}=4.
Constantes visíveis: a=2 (coeficiente de x) e termo constante 1.
Passo 2
Observação geral sobre derivadas de funções do tipo \operatorname{sen}(ax+b).
Primeiro lembrete simples e útil: derivadas sucessivas de \operatorname{sen} fazem aparecer \operatorname{cos} e depois -\operatorname{sen}, etc., em um ciclo de período 4:
Para \operatorname{sen}(ax+b) a regra da cadeia introduz um fator a em cada derivação. Assim, ao derivar n vezes, cada diferenciação traz um fator a, totalizando a^{n}.
Podemos enunciar e provar facilmente por indução a fórmula geral:
\operatorname{sen}(u+k\pi)=(-1)^{k}\operatorname{sen}(u) para inteiro k. Aqui k=9, então \operatorname{sen}(9+9\pi+\tfrac{\pi}{2}) = (-1)^{9}\operatorname{sen}(9+\tfrac{\pi}{2})=-\operatorname{sen}(9+\tfrac{\pi}{2}).
\operatorname{sen}(v+\tfrac{\pi}{2})=\cos(v). Aplicando com v=9 obtemos \operatorname{sen}(9+\tfrac{\pi}{2})=\cos(9).