Calcule a derivada de ordem 19 de \operatorname{sen}(2 x+1) no ponto x=4.
Escolha uma opção:
\bigcirc a. 524288 \operatorname{sen}(9)
\bigcirc b. 262144 \cos (9)
\bigcirc c. 262144 \operatorname{sen}(5)
\bigcirc d. -524288 \cos (9)
\bigcirc e. 524288 \cos (5)

Passo 1

O enunciado dá a função \operatorname{sen}(2x+1) e pede a derivada de ordem 19 dessa função no ponto x=4. Informações importantes que vamos usar:
  • Função: \operatorname{sen}(2x+1).
  • Ordem da derivada: n=19.
  • Ponto onde avaliar: x_{0}=4.
  • Constantes visíveis: a=2 (coeficiente de x) e termo constante 1.

Passo 2

Observação geral sobre derivadas de funções do tipo \operatorname{sen}(ax+b).
Primeiro lembrete simples e útil: derivadas sucessivas de \operatorname{sen} fazem aparecer \operatorname{cos} e depois -\operatorname{sen}, etc., em um ciclo de período 4:
\operatorname{sen}'(t)=\cos(t),\qquad \cos'(t)=-\operatorname{sen}(t),\qquad (-\operatorname{sen}(t))'=-\cos(t),\qquad (-\cos(t))'=\operatorname{sen}(t).
Para \operatorname{sen}(ax+b) a regra da cadeia introduz um fator a em cada derivação. Assim, ao derivar n vezes, cada diferenciação traz um fator a, totalizando a^{n}.
Podemos enunciar e provar facilmente por indução a fórmula geral:
\frac{d^{n}}{dx^{n}}\operatorname{sen}(ax+b)=a^{n}\operatorname{sen}\!\bigl(ax+b+\tfrac{n\pi}{2}\bigr).
Prova por indução curta:
  • Caso base n=1: \frac{d}{dx}\operatorname{sen}(ax+b)=a\cos(ax+b)=a\operatorname{sen}\!\bigl(ax+b+\tfrac{\pi}{2}\bigr). Verdade.
  • Passo indutivo: suponha verdade para n. Então
\frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}}\operatorname{sen}(ax+b) = \frac{d}{dx}\Bigl[a^{n}\operatorname{sen}\!\bigl(ax+b+\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\Bigr] = a^{n}\cdot a\cos\!\bigl(ax+b+\tfrac{n\pi}{2}\bigr) = a^{n+1}\operatorname{sen}\!\bigl(ax+b+\tfrac{(n+1)\pi}{2}\bigr),
onde usamos novamente a forma \cos(u)=\operatorname{sen}(u+\tfrac{\pi}{2}). Assim a fórmula vale para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: a=2, b=1 e n=19. Então
\frac{d^{19}}{dx^{19}}\operatorname{sen}(2x+1)=2^{19}\operatorname{sen}\!\Bigl(2x+1+\tfrac{19\pi}{2}\Bigr).

Passo 4

Calcular o fator 2^{19}. Podemos fazer:
2^{10}=1024,\qquad 2^{9}=512,\qquad 2^{19}=2^{10}\cdot 2^{9}=1024\cdot 512=524288.
Portanto o fator é 524288.

Passo 5

Avaliar no ponto x=4. Substituindo:
2x+1+\tfrac{19\pi}{2}\Big|_{x=4}=2\cdot 4+1+\tfrac{19\pi}{2}=9+\tfrac{19\pi}{2}.
Agora simplificamos a parte angular \tfrac{19\pi}{2}. Escrevemos
\tfrac{19\pi}{2}=9\pi+\tfrac{\pi}{2},
pois 19/2=9+\tfrac{1}{2}. Então
\operatorname{sen}\!\Bigl(9+\tfrac{19\pi}{2}\Bigr)=\operatorname{sen}\!\bigl(9+9\pi+\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Usamos duas identidades:
  • \operatorname{sen}(u+k\pi)=(-1)^{k}\operatorname{sen}(u) para inteiro k. Aqui k=9, então \operatorname{sen}(9+9\pi+\tfrac{\pi}{2}) = (-1)^{9}\operatorname{sen}(9+\tfrac{\pi}{2})=-\operatorname{sen}(9+\tfrac{\pi}{2}).
  • \operatorname{sen}(v+\tfrac{\pi}{2})=\cos(v). Aplicando com v=9 obtemos \operatorname{sen}(9+\tfrac{\pi}{2})=\cos(9).
Combinando, \operatorname{sen}\bigl(9+\tfrac{19\pi}{2}\bigr) = -\cos(9).

Passo 6

Multiplicando pelo fator 2^{19}=524288 encontrado no Passo 4, obtemos
\frac{d^{19}}{dx^{19}}\operatorname{sen}(2x+1)\Big|_{x=4}=524288\cdot\bigl(-\cos(9)\bigr)=-524288\cos(9).

Resposta

(d) -524288 \cos(9)

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