Questão 10
Calcule a derivada de ordem 22 de e^{2 x} x no ponto x=1.5.
Escolha uma opção:
\bigcirc a. \quad 1.6849 \times 10^{8}
\bigcirc b. 1.93763 \times 10^{9}
\bigcirc c. 3.70677 \times 10^{9}
\bigcirc d. \quad 1.05306 \times 10^{9}
\bigcirc e. \quad 1.97975 \times 10^{9}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem 22 da função f(x)=x e^{2x} avaliada no ponto x=1{,}5. Informações dadas:
  • A função é f(x)=x e^{2x}.
  • Queremos f^{(22)}(1{,}5).
  • São fornecidas opções numéricas para comparar.

Passo 2

Vamos usar a regra geral para derivada de ordem n de um produto de duas funções (regra de Leibniz). Se u(x) e v(x) são funções suficientemente suaves, então a n-ésima derivada do produto é
(uv)^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, u^{(k)}(x)\, v^{(n-k)}(x),
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Explicando devagar: essa fórmula diz que, ao derivar n vezes um produto, somamos todas as formas de distribuir as n derivações entre u e v; cada termo é ponderado pelo binômio correspondente.

Passo 3

Escolhemos u(x)=x e v(x)=e^{2x}. Vamos listar as derivadas necessárias de u:
u(x)=x,\qquad u'(x)=1,\qquad u''(x)=0,\qquad u^{(m)}(x)=0\\ \text{para todo } m\ge 2.
Explicação: derivando x uma vez obtemos 1; a partir da segunda derivada em diante tudo é 0.

Passo 4

Agora as derivadas de v(x)=e^{2x}. A derivada de e^{2x} é 2e^{2x} (pela regra da cadeia: derivada do expoente 2x é 2), então derivando m vezes obtemos
v^{(m)}(x)=2^{m} e^{2x}.
Explicando: cada derivada aporta um fator 2, logo após m derivações acumula-se 2^{m}.

Passo 5

Aplicando a fórmula de Leibniz para f(x)=u(x)v(x) com n=22:
f^{(22)}(x)=\sum_{k=0}^{22} \binom{22}{k}\, u^{(k)}(x)\, v^{(22-k)}(x).
Mas, como vimos, u^{(k)}(x)=0 para k\ge 2. Portanto só os termos k=0 e k=1 contribuem:
f^{(22)}(x)=\binom{22}{0} u(x) v^{(22)}(x) + \binom{22}{1} u'(x) v^{(21)}(x).
Substituindo \binom{22}{0}=1, \binom{22}{1}=22, u(x)=x, u'(x)=1 e as fórmulas para v^{(m)},
f^{(22)}(x)= x\cdot 2^{22} e^{2x} + 22\cdot 2^{21} e^{2x}.

Passo 6

Fatorando e^{2x} e 2^{21},
f^{(22)}(x)=2^{21} e^{2x}\big(2x + 22\big).
Observando que 2x+22=2(x+11), obtemos uma forma ainda mais simples:
f^{(22)}(x)=2^{22} e^{2x} (x+11).
Agora avaliamos em x=1{,}5. Primeiro calcule x+11:
1{,}5 + 11 = 12{,}5 = \frac{25}{2}.
Então
f^{(22)}(1{,}5)=2^{22} e^{2\cdot 1{,}5} (1{,}5+11)=2^{22} e^{3} \cdot 12{,}5.
Podemos simplificar 2^{22}\cdot 12{,}5 = 2^{22}\cdot \frac{25}{2}=25\cdot 2^{21}. Sabendo que 2^{21}=2{,}097{,}152,
25\cdot 2^{21}=25\cdot 2{,}097{,}152 = 52{,}428{,}800.
Portanto
f^{(22)}(1{,}5)= e^{3}\cdot 52{,}428{,}800.
Usando e^{3}\approx 20{,}085536923187667,
f^{(22)}(1{,}5)\approx 52{,}428{,}800 \times 20{,}085536923187667 \approx 1{,}053{,}060{,}602{,}3.

Passo 7

Arredondando para a notação científica usada nas opções, obtemos aproximadamente
f^{(22)}(1{,}5)\approx 1{,}05306\times 10^{9},
que coincide com uma das alternativas propostas.

Resposta

(d) \;1.05306\times 10^{9}

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