Questão 10
Calcule a derivada de ordem 22 de
no ponto
.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de ordem 22 da função
avaliada no ponto
. Informações dadas:
- A função é
. - Queremos
. - São fornecidas opções numéricas para comparar.
Passo 2
Vamos usar a regra geral para derivada de ordem
de um produto de duas funções (regra de Leibniz). Se
e
são funções suficientemente suaves, então a
-ésima derivada do produto é
onde
é o coeficiente binomial, dado por
Explicando devagar: essa fórmula diz que, ao derivar
vezes um produto, somamos todas as formas de distribuir as
derivações entre
e
; cada termo é ponderado pelo binômio correspondente.
Passo 3
Escolhemos
e
. Vamos listar as derivadas necessárias de
:
Explicação: derivando
uma vez obtemos
; a partir da segunda derivada em diante tudo é
.
Passo 4
Agora as derivadas de
. A derivada de
é
(pela regra da cadeia: derivada do expoente
é
), então derivando
vezes obtemos
Explicando: cada derivada aporta um fator
, logo após
derivações acumula-se
.
Passo 5
Aplicando a fórmula de Leibniz para
com
:
Mas, como vimos,
para
. Portanto só os termos
e
contribuem:
Substituindo
,
,
,
e as fórmulas para
,
Passo 6
Fatorando
e
,
Observando que
, obtemos uma forma ainda mais simples:
Agora avaliamos em
. Primeiro calcule
:
Então
Podemos simplificar
. Sabendo que
,
Portanto
Usando
,
Passo 7
Arredondando para a notação científica usada nas opções, obtemos aproximadamente
que coincide com uma das alternativas propostas.
Resposta
(d)