Encontrar o versor de \vec{v} para cada caso.
\vec{v}=-\vec{i}-\vec{j}

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação: \vec{v}=-\vec{i}-\vec{j}.
O que se pede: encontrar o versor (vetor unitário) de \vec{v}, ou seja, um vetor com comprimento 1 que aponta na mesma direção de \vec{v}.

Passo 2

O que é um versor e como se calcula: o versor de um vetor \vec{v} é o vetor obtido dividindo \vec{v} pela sua norma (magnitude). A fórmula é
\hat{v}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
Aqui \|\vec{v}\| é a norma de \vec{v}, um número positivo que mede o comprimento do vetor.

Passo 3

Identificar as componentes de \vec{v}. Podemos escrever \vec{v} em coordenadas como
\vec{v}=-\vec{i}-\vec{j} = (-1,-1),
ou seja, a componente x é -1 e a componente y é -1.

Passo 4

Calcular a norma \|\vec{v}\|. Para um vetor em \mathbb{R}^2 com componentes (v_x,v_y), a norma é dada por
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}.
Aqui v_x=-1 e v_y=-1. Então
\|\vec{v}\|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Observação: a raiz quadrada é sempre não negativa, por isso \|\vec{v}\|=\sqrt{2}>0.

Passo 5

Aplicar a fórmula do versor dividindo \vec{v} pela norma. Usando \vec{v}=-\vec{i}-\vec{j} e \|\vec{v}\|=\sqrt{2},
\hat{v}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\frac{-\vec{i}-\vec{j}}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{i}-\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{j}.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): checar que o resultado tem norma 1. A norma de \hat{v}=(-1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2}) é
\|\hat{v}\|=\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} =\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{1}=1,
logo está correto.

Resposta

-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\vec{i}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\vec{j}

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