Calcule a derivada de ordem n:
y=\operatorname{arctg} x ; n=2

Passo 1

O enunciado dá a função \,y=\operatorname{arctg} x\, (arctangente de x) e pede a derivada de ordem n com n=2.
Informações importantes fornecidas:
  • A função a derivar é \,y=\operatorname{arctg} x\,.
  • Deve-se calcular a segunda derivada, isto é \,y''=\dfrac{d^2y}{dx^2}.

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a primeira derivada y'. Uma forma didática é usar diferenciação implícita da função inversa: se \,y=\operatorname{arctg} x\, então por definição inversa vale \,x=\tan y\,. Diferenciando ambos os lados em relação a x obtemos:
\frac{d}{dx}(x)=\frac{d}{dx}(\tan y).
O lado esquerdo é 1. O lado direito, pela regra da cadeia (porque \tan y depende de y que depende de x), é \operatorname{sec}^2 y\cdot y'. Logo:
1=\operatorname{sec}^2 y\cdot y'.

Passo 3

Isolando y' temos:
y'=\frac{1}{\operatorname{sec}^2 y}.
Explicando as identidades trigonométricas usadas: \operatorname{sec} y=1/\cos y, então \operatorname{sec}^2 y=1/\cos^2 y. Portanto
y'=\cos^2 y.
Agora expressamos em termos de x: como x=\tan y, usa-se a identidade \,1+\tan^2 y=\operatorname{sec}^2 y. Assim
\cos^2 y=\frac{1}{\operatorname{sec}^2 y}=\frac{1}{1+\tan^2 y}=\frac{1}{1+x^2}.
Portanto:
y'=\frac{1}{1+x^2}.

Passo 4

Antes de derivar novamente, vamos revisar a regra que usaremos: a regra da cadeia e a regra do poder. Se u(x) é uma função e f(u)=u^m, então
\frac{d}{dx}u^m = m\,u^{m-1}\cdot u'.
Aqui podemos ver \,y'=(1+x^2)^{-1} e aplicar diretamente essa regra com u(x)=1+x^2 e m=-1.

Passo 5

Calculemos a segunda derivada. Defina u(x)=1+x^2. Então y'=u^{-1}. Aplicando a regra do poder com a cadeia:
y''=\frac{d}{dx}\big(u^{-1}\big) = -1\cdot u^{-2}\cdot u'.
Agora calcule u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}(1+x^2)=2x.
Substituindo em y'':
y'' = -u^{-2}\cdot u' = -\frac{2x}{(1+x^2)^{2}}.

Passo 6

Podemos checar rapidamente usando a regra do quociente sobre y'=\dfrac{1}{1+x^2}: a derivada de \dfrac{a}{b} com a=1 constante dá \dfrac{0\cdot b - 1\cdot b'}{b^2} = -b'/b^2. Como b'=2x, obtém-se o mesmo resultado -2x/(1+x^2)^2. Assim a conta está consistente.

Resposta

y''=-\frac{2x}{(1+x^2)^{2}}

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