Calcule a derivada de ordem n:
Passo 1
O enunciado dá a função
(arctangente de
) e pede a derivada de ordem
com
.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A função a derivar é
. - Deve-se calcular a segunda derivada, isto é
.
Passo 2
Vamos primeiro encontrar a primeira derivada
. Uma forma didática é usar diferenciação implícita da função inversa: se
então por definição inversa vale
. Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos:
O lado esquerdo é
. O lado direito, pela regra da cadeia (porque
depende de
que depende de
), é
. Logo:
Passo 3
Isolando
temos:
Explicando as identidades trigonométricas usadas:
, então
. Portanto
Agora expressamos em termos de
: como
, usa-se a identidade
. Assim
Portanto:
Passo 4
Antes de derivar novamente, vamos revisar a regra que usaremos: a regra da cadeia e a regra do poder. Se
é uma função e
, então
Aqui podemos ver
e aplicar diretamente essa regra com
e
.
Passo 5
Calculemos a segunda derivada. Defina
. Então
. Aplicando a regra do poder com a cadeia:
Agora calcule
:
Substituindo em
:
Passo 6
Podemos checar rapidamente usando a regra do quociente sobre
: a derivada de
com
constante dá
. Como
, obtém-se o mesmo resultado
. Assim a conta está consistente.