Sejam
e
funções deriváveis ate
ordem. Mostrar que:
;
Passo 1
O enunciado nos dá duas funções
e
diferenciáveis até a terceira ordem. Pede para mostrar a identidade entre derivadas de segunda ordem:
Informações/restrições importantes fornecidas:
-
e têm derivadas até a terceira ordem (isso garante que todas as derivadas de ordem 0,1,2 que aparecerão existem). - A tarefa é provar a igualdade para todas as
em que as funções e derivadas estão definidas.
Passo 2
Lembrando e explicando a regra do produto (que usaremos): para duas funções
e
diferenciáveis vale
Aqui
denota a derivada de
em relação a
, e
a derivada de
. A regra diz que a derivada do produto é a soma de cada função vezes a derivada da outra — é a fórmula básica que facilita diferenciar produtos. Vou usá-la com
e
.
(Notinha rápida: a linearidade da derivada significa que
e
para constante
. Usaremos isso também.)
Passo 3
Calcular a primeira derivada do produto
aplicando a regra do produto:
Expliquei cada termo:
é "derivar
e multiplicar por
", e
é "deixar
e multiplicar pela derivada de
".
Passo 4
Agora vamos derivar novamente para obter a segunda derivada
. Como
é a soma de duas funções, usamos linearidade da derivada e diferenciamos termo a termo:
Ou seja, diferenciamos
e diferenciamos
separadamente e somamos os resultados.
Passo 5
Aplicamos a regra do produto a cada um dos termos:
- Para
, trate e . Então
Aqui
é a derivada de
e
é a derivada de
.
- Para
, trate e . Então
Somando as duas expressões (pois
é a soma delas) obtemos:
Agrupando termos semelhantes:
Como
, resulta
Passo 6
Organizando a escrita final de forma habitual (colocando
primeiro no primeiro termo, por simetria):
Isso é exatamente a identidade que se pedia demonstrar. Pequena verificação mental: cada termo corresponde a escolher duas derivações distribuídas entre
e
(0+2, 1+1, 2+0), e o termo do meio aparece com coeficiente
porque há duas maneiras de distribuir uma derivada em cada função.