Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis ate 3^{\text {a }} ordem. Mostrar que:
(f g)^{\prime \prime}=g f^{\prime \prime}+2 f^{\prime} g^{\prime}+f g^{\prime \prime};

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções f(x) e g(x) diferenciáveis até a terceira ordem. Pede para mostrar a identidade entre derivadas de segunda ordem:
(fg)'' = g f'' + 2 f' g' + f g''.
Informações/restrições importantes fornecidas:
  • f e g têm derivadas até a terceira ordem (isso garante que todas as derivadas de ordem 0,1,2 que aparecerão existem).
  • A tarefa é provar a igualdade para todas as x em que as funções e derivadas estão definidas.

Passo 2

Lembrando e explicando a regra do produto (que usaremos): para duas funções u(x) e v(x) diferenciáveis vale
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui u' denota a derivada de u em relação a x, e v' a derivada de v. A regra diz que a derivada do produto é a soma de cada função vezes a derivada da outra — é a fórmula básica que facilita diferenciar produtos. Vou usá-la com u=f e v=g.
(Notinha rápida: a linearidade da derivada significa que (h_1+h_2)' = h_1'+h_2' e (c\cdot h)' = c\cdot h' para constante c. Usaremos isso também.)

Passo 3

Calcular a primeira derivada do produto fg aplicando a regra do produto:
(fg)' = f' g + f g'.
Expliquei cada termo: f' g é "derivar f e multiplicar por g", e f g' é "deixar f e multiplicar pela derivada de g".

Passo 4

Agora vamos derivar novamente para obter a segunda derivada (fg)''. Como (fg)' é a soma de duas funções, usamos linearidade da derivada e diferenciamos termo a termo:
(fg)'' = \big(f' g\big)' + \big(f g'\big)'.
Ou seja, diferenciamos \big(f' g\big) e diferenciamos \big(f g'\big) separadamente e somamos os resultados.

Passo 5

Aplicamos a regra do produto a cada um dos termos:
  1. Para \big(f' g\big)', trate u=f' e v=g. Então
\big(f' g\big)' = f'' g + f' g'.
Aqui f'' é a derivada de f' e g' é a derivada de g.
  1. Para \big(f g'\big)', trate u=f e v=g'. Então
\big(f g'\big)' = f' g' + f g''.
Somando as duas expressões (pois (fg)'' é a soma delas) obtemos:
(fg)'' = \big(f'' g + f' g'\big) + \big(f' g' + f g''\big).
Agrupando termos semelhantes:
(fg)'' = f'' g + \big(f' g' + f' g'\big) + f g''.
Como f' g' + f' g' = 2 f' g', resulta
(fg)'' = f'' g + 2 f' g' + f g''.

Passo 6

Organizando a escrita final de forma habitual (colocando g primeiro no primeiro termo, por simetria):
(fg)'' = g f'' + 2 f' g' + f g''.
Isso é exatamente a identidade que se pedia demonstrar. Pequena verificação mental: cada termo corresponde a escolher duas derivações distribuídas entre f e g (0+2, 1+1, 2+0), e o termo do meio aparece com coeficiente 2 porque há duas maneiras de distribuir uma derivada em cada função.

Resposta

(fg)'' = g f'' + 2 f' g' + f g''

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