Encontre a funçã afim (reta) que melhor se ajusta ao conjunto de pontos dado por meio do método dos mínimos quadrados:
Xi
\mathrm{Yi}=\mathrm{f}(\mathrm{Xi})
1
0
3
1
4
2
6
4
8
5
Passo 1
O enunciado dá um conjunto de pontos e pede a reta afim que melhor os ajusta pelo método dos mínimos quadrados. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
Pontos fornecidos:
(X_1,Y_1)=(1,0)
(X_2,Y_2)=(3,1)
(X_3,Y_3)=(4,2)
(X_4,Y_4)=(6,4)
(X_5,Y_5)=(8,5)
O que se pede: encontrar a função afim (reta) do tipo
\hat{y}=ax+b
que melhor ajusta esses pontos no sentido dos mínimos quadrados (ou seja, minimiza a soma dos quadrados dos desvios Y_i-\hat{y}_i).
Passo 2
Explicar o método (fórmulas e ideia) de forma simples e prática.
Ideia: queremos escolher a\) e \(b\) que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos
\[S(a,b)=\sum_{i=1}^{n}\bigl(Y_i-(aX_i+b)\bigr)^{2}.
Para minimizar S em relação a a e b calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero. Isso gera as chamadas equações normais:
Aqui n é o número de pontos, \sum X_i é a soma das abscissas, \sum Y_i a soma das ordenadas, \sum X_i^2 a soma dos quadrados das abscissas e \sum X_iY_i a soma dos produtos X_iY_i. Essas fórmulas são fáceis de aplicar na prova: basta calcular as somas e substituir.]
Passo 3
Calcular as somas necessárias a partir dos pontos dados (faço as contas passo a passo):
Pequena verificação didática (como checar rápido na prova):
Uma propriedade dos mínimos quadrados é que a soma dos resíduos \sum (Y_i-\hat{y}_i) é zero e a soma ponderada \sum X_i(Y_i-\hat{y}_i) também é zero. Se houver tempo, pode-se calcular \hat{y}_i para cada X_i e verificar que essas somas são muito próximas de zero (ou zero em aritmética exata), o que aumenta a confiança no cálculo.
Outro jeitinho rápido: as fórmulas usadas são diretas e nada misteriosas: primeiro calcula-se as cinco somas mostradas no Passo 3 e aplica-se a fórmula do Passo 4 e do Passo 5. Isso é o que vale na prova: prática com as somas e atenção na álgebra.