Encontre a funçã afim (reta) que melhor se ajusta ao conjunto de pontos dado por meio do método dos mínimos quadrados:
Xi \mathrm{Yi}=\mathrm{f}(\mathrm{Xi})
1 0
3 1
4 2
6 4
8 5

Passo 1

O enunciado dá um conjunto de pontos e pede a reta afim que melhor os ajusta pelo método dos mínimos quadrados. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
  • Pontos fornecidos:
    • (X_1,Y_1)=(1,0)
    • (X_2,Y_2)=(3,1)
    • (X_3,Y_3)=(4,2)
    • (X_4,Y_4)=(6,4)
    • (X_5,Y_5)=(8,5)
  • O que se pede: encontrar a função afim (reta) do tipo
\hat{y}=ax+b
que melhor ajusta esses pontos no sentido dos mínimos quadrados (ou seja, minimiza a soma dos quadrados dos desvios Y_i-\hat{y}_i).

Passo 2

Explicar o método (fórmulas e ideia) de forma simples e prática.
  • Ideia: queremos escolher a\) e \(b\) que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos \[S(a,b)=\sum_{i=1}^{n}\bigl(Y_i-(aX_i+b)\bigr)^{2}.
  • Para minimizar S em relação a a e b calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero. Isso gera as chamadas equações normais:
\frac{\partial S}{\partial a}= -2\sum_{i=1}^{n} X_i\bigl(Y_i-(aX_i+b)\bigr)=0,
\frac{\partial S}{\partial b}= -2\sum_{i=1}^{n} \bigl(Y_i-(aX_i+b)\bigr)=0.
  • Simplificando essas duas equações obtém-se o sistema linear
\begin{cases} \displaystyle a\sum_{i=1}^{n} X_i^{2} + b\sum_{i=1}^{n} X_i = \sum_{i=1}^{n} X_i Y_i,\\[6pt] \displaystyle a\sum_{i=1}^{n} X_i + b\,n = \sum_{i=1}^{n} Y_i. \end{cases}
  • Resolvendo esse sistema para a\] e \(b resulta nas fórmulas fechadas mais usadas:
\displaystyle a=\frac{n\sum X_iY_i - (\sum X_i)(\sum Y_i)}{n\sum X_i^{2} - (\sum X_i)^{2}},
\displaystyle b=\frac{\sum Y_i - a\sum X_i}{n}.
Aqui n é o número de pontos, \sum X_i é a soma das abscissas, \sum Y_i a soma das ordenadas, \sum X_i^2 a soma dos quadrados das abscissas e \sum X_iY_i a soma dos produtos X_iY_i. Essas fórmulas são fáceis de aplicar na prova: basta calcular as somas e substituir.]

Passo 3

Calcular as somas necessárias a partir dos pontos dados (faço as contas passo a passo):
  • Número de pontos:
n=5.
  • Soma das abscissas:
\sum X_i = 1+3+4+6+8 = 22.
  • Soma das ordenadas:
\sum Y_i = 0+1+2+4+5 = 12.
  • Soma dos quadrados das abscissas:
\sum X_i^{2} = 1^{2}+3^{2}+4^{2}+6^{2}+8^{2} = 1+9+16+36+64 = 126.
  • Soma dos produtos X_iY_i:
\sum X_iY_i = 1\cdot0 + 3\cdot1 + 4\cdot2 + 6\cdot4 + 8\cdot5 = 0+3+8+24+40 = 75.
Estas são todas as quantidades que entram nas fórmulas do passo anterior.

Passo 4

Calcular o coeficiente angular a usando a fórmula:
\displaystyle a=\frac{n\sum X_iY_i - (\sum X_i)(\sum Y_i)}{n\sum X_i^{2} - (\sum X_i)^{2}}.
Substituindo os valores que calculei:
\displaystyle a=\frac{5\cdot 75 - 22\cdot 12}{5\cdot 126 - 22^{2}}.
Faço as contas com calma:
5\cdot75=375,\qquad 22\cdot12=264,\qquad 5\cdot126=630,\qquad 22^{2}=484.
Então
\displaystyle a=\frac{375-264}{630-484}=\frac{111}{146}.
Posso deixar em fração exata \displaystyle a=\frac{111}{146} ou em aproximado decimal:
\displaystyle a\approx 0,760274\ldots

Passo 5

Calcular a ordenada na origem b usando
\displaystyle b=\frac{\sum Y_i - a\sum X_i}{n}.
Substituo \sum Y_i=12, \sum X_i=22 e a=\dfrac{111}{146}.
Primeiro calculo a\sum X_i:
a\sum X_i = \frac{111}{146}\cdot 22 = \frac{111\cdot22}{146}.
Simplifico 22/146=11/73, então
a\sum X_i = \frac{111\cdot11}{73} = \frac{1221}{73}.
Agora
\sum Y_i - a\sum X_i = 12 - \frac{1221}{73} = \frac{12\cdot73 - 1221}{73} = \frac{876-1221}{73} = \frac{-345}{73}.
Dividindo por n=5:
b=\frac{-345}{73}\cdot\frac{1}{5} = -\frac{345}{365}.
Simplificando a fração divido numerador e denominador por 5:
b=-\frac{69}{73}.
Em decimal:
b\approx -0,945205\ldots

Passo 6

Escrever a reta ajustada final, tanto na forma exata quanto aproximada.
  • Forma exata (frações):
\boxed{\displaystyle \hat{y}=\frac{111}{146}\,x - \frac{69}{73}.}
  • Forma aproximada (útil para cálculos rápidos na prova):
\boxed{\displaystyle \hat{y}\approx 0,76027\,x - 0,94521.}

Passo 7

Pequena verificação didática (como checar rápido na prova):
  • Uma propriedade dos mínimos quadrados é que a soma dos resíduos \sum (Y_i-\hat{y}_i) é zero e a soma ponderada \sum X_i(Y_i-\hat{y}_i) também é zero. Se houver tempo, pode-se calcular \hat{y}_i para cada X_i e verificar que essas somas são muito próximas de zero (ou zero em aritmética exata), o que aumenta a confiança no cálculo.
  • Outro jeitinho rápido: as fórmulas usadas são diretas e nada misteriosas: primeiro calcula-se as cinco somas mostradas no Passo 3 e aplica-se a fórmula do Passo 4 e do Passo 5. Isso é o que vale na prova: prática com as somas e atenção na álgebra.

Resposta

\displaystyle \hat{y}=\frac{111}{146}\,x-\frac{69}{73}

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