Calcule a derivada parcial de primeira ordem:
f(x, y)=\sqrt{x y}+x y

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=\sqrt{x\,y}+x\,y.
O conteúdo aqui é diferenciação parcial de funções de duas variáveis. Vamos usar a regra da cadeia para \sqrt{x\,y}=(x\,y)^{1/2} e a regra do produto para x\,y.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y como constante e derivamos cada termo:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl((x\,y)^{1/2}\bigr) =\tfrac12\,(x\,y)^{-1/2}\,\frac{\partial(x\,y)}{\partial x} =\tfrac12\,(x\,y)^{-1/2}\,y =\frac{y}{2\sqrt{x\,y}}.
E
\frac{\partial}{\partial x}(x\,y)=y.
Somando,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{y}{2\sqrt{x\,y}}+y.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, tratamos x como constante:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl((x\,y)^{1/2}\bigr) =\tfrac12\,(x\,y)^{-1/2}\,\frac{\partial(x\,y)}{\partial y} =\tfrac12\,(x\,y)^{-1/2}\,x =\frac{x}{2\sqrt{x\,y}}.
E
\frac{\partial}{\partial y}(x\,y)=x.
Somando,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{x}{2\sqrt{x\,y}}+x.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{y}{2\sqrt{x\,y}}+y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{x}{2\sqrt{x\,y}}+x.

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